Кафедра высшей алгебры

Лектор: Д.А.Тимашёв

Лекции читаются по понедельникам на 2-й паре (10:45-12:20) в ауд. 14-14.

1. Э.Б. Винберг, А.Л. Онищик. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам.
2. Ж.-П. Серр. Алгебры Ли и группы Ли.
3. Ф. Уорнер. Основы теории гладких многообразий и групп Ли.

Группы Ли (вещественные и комплексные): определение и простейшие примеры. Прямое произведение групп Ли. Подгруппы Ли, их задание уравнениями. Пример: O_n ⊂ GL_n. Подгруппа в группе Ли, являющаяся подмногообразием в окрестности единицы, есть подгруппа Ли. Замкнутость подгрупп Ли в объемлющей группе Ли.

Компоненты связности группы Ли, связная компонента единицы и группа компонент. Пример: компоненты связности группы O_n(R). Связная группа Ли порождается (как абстрактная группа) любой окрестностью единицы.

Основные понятия дифференциального исчисления на многообразиях (напоминание): касательные векторы и касательные пространства, дифференциалы отображений, цепное правило. Дифференцирование умножения и инверсии на группе Ли.

Линеаризация дифференцируемых отображений постоянного ранга. Векторные поля. Дифференциальные уравнения (автономные, 1-го порядка) на многообразиях, фазовые кривые и фазовые потоки. Действие диффеоморфизмов на дифференциально-геометрические объекты на многообразии (функции, векторные поля, и т.п.). Производная Ли вдоль векторного поля. Коммутатор векторных полей.

Правоинвариантные векторные поля на группе Ли, их фазовые потоки и однопараметрические подгруппы. Экспоненциальное отображение, его свойства.

Присоединённое представление и касательная алгебра группы Ли, примеры: GL_n, абелевы группы Ли. Дифференциал гомоморфизма групп Ли (в единице) — гомоморфизм касательных алгебр. Касательная алгебра подгруппы Ли есть подалгебра касательной алгебры группы Ли. Касательная алгебра группы Ли есть алгебра Ли.

Функтор Ли. Связь гомоморфизма групп Ли с его дифференциалом через экспоненциальное отображение (формула φ • exp = exp • dφ), случай линейного представления (в частности, Ad • exp = exp • ad). Экспонента суммы коммутирующих элементов касательной алгебры Ли равна произведению экспонент слагаемых.

Экспоненциальные координаты на группе Ли в окрестности единицы. Одновременная линеаризация всех подгрупп Ли в экспоненциальных координатах. Связная подгруппа Ли восстанавливается по своей касательной алгебре Ли. Пересечение подгрупп Ли — подгруппа Ли, её касательная алгебра Ли — пересечение касательных алгебр этих подгрупп.

Линеаризация гомоморфизмов групп Ли в экспоненциальных координатах. Ядро и образ гомоморфизма групп Ли, их размерности и касательные алгебры Ли, прообраз подгруппы Ли при гомоморфизме, его касательная алгебра Ли (формулировка теоремы). Примеры: группа Ли SL_n и её касательная алгебра Ли, плотная обмотка тора.

Ядро и образ гомоморфизма групп Ли, их размерности и касательные алгебры Ли, прообраз подгруппы Ли при гомоморфизме, его касательная алгебра Ли (доказательство теоремы). Восстановление гомоморфизма связной группы Ли по его дифференциалу.

Связь между линейным представлением группы Ли и его дифференциалом — линейным представлением алгебры Ли: инвариантные подпространства, подпредставления и факторпредставления, приводимость, неприводимость, полная приводимость. Сопряжённое представление, прямая сумма и тензорное произведение линейных представлений групп Ли, их дифференциалы — соответствующие конструкции над линейными представлениями алгебр Ли.

Действия групп Ли на многообразиях, орбитные отображения, поля скоростей. Касательная алгебра группы Ли изоморфна алгебре Ли правоинвариантных векторных полей. Свойства орбит и стабилизаторов. Стабилизатор вектора в линейном представлении группы Ли, его касательная алгебра Ли.

Группа Ли автоморфизмов и алгебра Ли дифференцирований конечномерной алгебры. Представление изотропии. Транзитивные действия групп Ли и однородные многообразия. Орбитное отображение группы Ли на однородное многообразие является локально тривиальным расслоением.

Свойства локально тривиальных расслоений: структура многообразия на базе определена однозначно, факторизационное свойство.

Однородное многообразие группы Ли однозначно определяется стабилизатором базисной точки. Структура однородного многообразия на множестве левых смежных классов G/H группы Ли G по подгруппе Ли H. Представление изотропии на однородном многообразии, связь с присоединённым представлением. Нормальные подгруппы Ли и идеалы в касательной алгебре Ли. Структура группы Ли на факторгруппе G/H группы Ли G по нормальной подгруппе Ли H, её касательная алгебра Ли. Основная теорема о гомоморфизмах для групп Ли.

Фундаментальная группа, односвязные многообразия, универсальное накрытие (напоминания). Универсальная накрываюшая и фундаментальная группа связной группы Ли.

Фундаментальная группа связной группы Ли коммутативна.

Общий подход к проблеме классификации связных групп Ли: классификация алгебр Ли, построение соответствующих односвязных групп Ли, описание связных групп Ли как факторгрупп односвязных групп Ли по дискретным центральным подгруппам. Классификация связных коммутативных групп Ли.

Интегрирование гомоморфизмов касательных алгебр Ли: существование и единственность гомоморфизма односвязной группы Ли с заданным дифференциалом (формулировка теоремы). Единственность односвязной группы Ли с заданной касательной алгеброй Ли.

Годограф скорости движения точки по кривой на группе Ли. Существование и единственность кривой с заданным годографом скорости, проходящей через заданную точку в начальный момент времени. Деформация кривой на группе Ли, дифференциальное уравнение деформации.