Кафедра высшей алгебры

Лектор: Д.А.Тимашёв

Лекции читаются по понедельникам на 2-й паре (10:45-12:20) в ауд. 14-14.

1. Э.Б. Винберг, А.Л. Онищик. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам.
2. Ж.-П. Серр. Алгебры Ли и группы Ли.
3. Ф. Уорнер. Основы теории гладких многообразий и групп Ли.

Группы Ли (вещественные и комплексные): определение и простейшие примеры. Прямое произведение групп Ли. Подгруппы Ли, их задание уравнениями. Пример: O_n ⊂ GL_n. Подгруппа в группе Ли, являющаяся подмногообразием в окрестности единицы, есть подгруппа Ли. Замкнутость подгрупп Ли в объемлющей группе Ли.

Компоненты связности группы Ли, связная компонента единицы и группа компонент. Пример: компоненты связности группы O_n(R). Связная группа Ли порождается (как абстрактная группа) любой окрестностью единицы.

Основные понятия дифференциального исчисления на многообразиях (напоминание): касательные векторы и касательные пространства, дифференциалы отображений, цепное правило. Дифференцирование умножения и инверсии на группе Ли.

Линеаризация дифференцируемых отображений постоянного ранга. Векторные поля. Дифференциальные уравнения (автономные, 1-го порядка) на многообразиях, фазовые кривые и фазовые потоки. Действие диффеоморфизмов на дифференциально-геометрические объекты на многообразии (функции, векторные поля, и т.п.). Производная Ли вдоль векторного поля. Коммутатор векторных полей.

Правоинвариантные векторные поля на группе Ли, их фазовые потоки и однопараметрические подгруппы. Экспоненциальное отображение, его свойства.

Присоединённое представление и касательная алгебра группы Ли, примеры: GL_n, абелевы группы Ли. Дифференциал гомоморфизма групп Ли (в единице) — гомоморфизм касательных алгебр. Касательная алгебра подгруппы Ли есть подалгебра касательной алгебры группы Ли. Касательная алгебра группы Ли есть алгебра Ли.

Функтор Ли. Связь гомоморфизма групп Ли с его дифференциалом через экспоненциальное отображение (формула φ • exp = exp • dφ), случай линейного представления (в частности, Ad • exp = exp • ad). Экспонента суммы коммутирующих элементов касательной алгебры Ли равна произведению экспонент слагаемых.

Экспоненциальные координаты на группе Ли в окрестности единицы. Одновременная линеаризация всех подгрупп Ли в экспоненциальных координатах. Связная подгруппа Ли восстанавливается по своей касательной алгебре Ли. Пересечение подгрупп Ли — подгруппа Ли, её касательная алгебра Ли — пересечение касательных алгебр этих подгрупп.

Линеаризация гомоморфизмов групп Ли в экспоненциальных координатах. Ядро и образ гомоморфизма групп Ли, их размерности и касательные алгебры Ли, прообраз подгруппы Ли при гомоморфизме, его касательная алгебра Ли (формулировка теоремы). Примеры: группа Ли SL_n и её касательная алгебра Ли, плотная обмотка тора.

Ядро и образ гомоморфизма групп Ли, их размерности и касательные алгебры Ли, прообраз подгруппы Ли при гомоморфизме, его касательная алгебра Ли (доказательство теоремы). Восстановление гомоморфизма связной группы Ли по его дифференциалу.

Связь между линейным представлением группы Ли и его дифференциалом — линейным представлением алгебры Ли: инвариантные подпространства, подпредставления и факторпредставления, приводимость, неприводимость, полная приводимость. Сопряжённое представление, прямая сумма и тензорное произведение линейных представлений групп Ли, их дифференциалы — соответствующие конструкции над линейными представлениями алгебр Ли.

Действия групп Ли на многообразиях, орбитные отображения, поля скоростей. Касательная алгебра группы Ли изоморфна алгебре Ли правоинвариантных векторных полей. Свойства орбит и стабилизаторов. Стабилизатор вектора в линейном представлении группы Ли, его касательная алгебра Ли.