Кафедра высшей алгебры

Вы посетили: • лекции_3_курс_фммф_весна_2025


Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия 		Предыдущая версия
лекции_3_курс_фммф_весна_2025 [24.02.2025 21:10]
timashev 		лекции_3_курс_фммф_весна_2025 [14.04.2025 17:54] (текущий)
timashev
Строка 46: Строка 46:
 __Функтор Ли__. Связь гомоморфизма групп Ли с его дифференциалом через экспоненциальное отображение (формула φ • exp = exp • dφ), случай линейного представления (в частности, Ad • exp = exp • ad). Экспонента суммы коммутирующих элементов касательной алгебры Ли равна произведению экспонент слагаемых.  __Функтор Ли__. Связь гомоморфизма групп Ли с его дифференциалом через экспоненциальное отображение (формула φ • exp = exp • dφ), случай линейного представления (в частности, Ad • exp = exp • ad). Экспонента суммы коммутирующих элементов касательной алгебры Ли равна произведению экспонент слагаемых. 
  
-Одновременная линеаризация всех подгрупп Ли в экспоненциальных координатах. Связная подгруппа Ли восстанавливается по своей касательной алгебре Ли. Пересечение подгрупп Ли — подгруппа Ли, её касательная алгебра Ли — пересечение касательных алгебр этих подгрупп.+Экспоненциальные координаты на группе Ли в окрестности единицы. Одновременная линеаризация всех подгрупп Ли в экспоненциальных координатах. Связная подгруппа Ли восстанавливается по своей касательной алгебре Ли. Пересечение подгрупп Ли — подгруппа Ли, её касательная алгебра Ли — пересечение касательных алгебр этих подгрупп.
  
-Линеаризация гомоморфизмов групп Ли в экспоненциальных координатах, восстановление гомоморфизма связной группы Ли по его дифференциалу. Ядро и образ гомоморфизма групп Ли, их размерности и касательные алгебры Ли, прообраз подгруппы Ли при гомоморфизме, его касательная алгебра Ли (//формулировка теоремы//). Пример: группа Ли SL<sub>n</sub> и её касательная алгебра Ли. Плотная обмотка тора.+Линеаризация гомоморфизмов групп Ли в экспоненциальных координатах. Ядро и образ гомоморфизма групп Ли, их размерности и касательные алгебры Ли, прообраз подгруппы Ли при гомоморфизме, его касательная алгебра Ли (//формулировка теоремы//). Примеры: группа Ли SL<sub>n</sub> и её касательная алгебра Ли, плотная обмотка тора. 
 + 
 +---- 
 + 
 +=== 3 марта 2025 === 
 + 
 +== Лекция 6 == 
 + 
 +Ядро и образ гомоморфизма групп Ли, их размерности и касательные алгебры Ли, прообраз подгруппы Ли при гомоморфизме, его касательная алгебра Ли (//доказательство теоремы//). Восстановление гомоморфизма связной группы Ли по его дифференциалу. 
 + 
 +Связь между линейным представлением группы Ли и его дифференциалом — линейным представлением алгебры Ли: инвариантные подпространства, подпредставления и факторпредставления, приводимость, неприводимость, полная приводимость. Сопряжённое представление, прямая сумма и тензорное произведение линейных представлений групп Ли, их дифференциалы — соответствующие конструкции над линейными представлениями алгебр Ли. 
 + 
 +---- 
 + 
 +=== 10 марта 2025 === 
 + 
 +== Лекция 7 == 
 + 
 +Действия групп Ли на многообразиях, орбитные отображения, __поля скоростей__. Касательная алгебра группы Ли изоморфна алгебре Ли правоинвариантных векторных полей. Свойства орбит и стабилизаторов. Стабилизатор вектора в линейном представлении группы Ли, его касательная алгебра Ли. 
 + 
 +---- 
 + 
 +=== 17 марта 2025 === 
 + 
 +== Лекция 8 == 
 + 
 +Группа Ли автоморфизмов и алгебра Ли дифференцирований конечномерной алгебры. Представление изотропии. Транзитивные действия групп Ли и однородные многообразия. Орбитное отображение группы Ли на однородное многообразие является локально тривиальным расслоением. 
 + 
 +---- 
 + 
 +=== 24 марта 2025 === 
 + 
 +== Лекция 9 == 
 + 
 +Свойства локально тривиальных расслоений: структура многообразия на базе определена однозначно, факторизационное свойство. 
 + 
 +Однородное многообразие группы Ли однозначно определяется стабилизатором базисной точки. Структура однородного многообразия на множестве левых смежных классов G/H группы Ли G по подгруппе Ли H. Представление изотропии на однородном многообразии, связь с присоединённым представлением. Нормальные подгруппы Ли и идеалы в касательной алгебре Ли. Структура группы Ли на факторгруппе G/H группы Ли G по нормальной подгруппе Ли H, её касательная алгебра Ли. Основная теорема о гомоморфизмах для групп Ли.  
 + 
 +---- 
 + 
 +=== 31 марта 2025 === 
 + 
 +== Лекция 10 == 
 + 
 +Фундаментальная группа, односвязные многообразия, универсальное накрытие (//напоминания//). Универсальная накрываюшая и фундаментальная группа связной группы Ли. 
 + 
 +---- 
 + 
 +=== 7 апреля 2025 === 
 + 
 +== Лекция 11 == 
 + 
 +Фундаментальная группа связной группы Ли коммутативна. 
 + 
 +Общий подход к проблеме классификации связных групп Ли: классификация алгебр Ли, построение соответствующих односвязных групп Ли, описание связных групп Ли как факторгрупп односвязных групп Ли по дискретным центральным подгруппам. Классификация связных коммутативных групп Ли. 
 + 
 +__Интегрирование__ гомоморфизмов касательных алгебр Ли: существование и единственность гомоморфизма односвязной группы Ли с заданным дифференциалом (//формулировка теоремы//). Единственность односвязной группы Ли с заданной касательной алгеброй Ли. 
 + 
 +__Годограф скорости__ движения точки по кривой на группе Ли. Существование и единственность кривой с заданным годографом скорости, проходящей через заданную точку в начальный момент времени. Деформация кривой на группе Ли, дифференциальное уравнение деформации. 
 + 
 +---- 
 + 
 +=== 14 апреля 2025 === 
 + 
 +== Лекция 12 == 
 + 
 +Интегрирование гомоморфизмов касательных алгебр Ли (//доказательство теоремы//). 
 + 
 +__Центр__ и __коммутант__ связной группы Ли и её касательной алгебры Ли, связь между ними. Начало доказательства теоремы о коммутанте: включение [G,G] ⊂ H° для любой подгруппы Ли H ⊂ G с касательной алгеброй Lie(H) = [Lie(G), Lie(G)] в связной группе Ли G, построение такой подгруппы Ли H для односвязной группы Ли G.