Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- лекции_3_курс_фммф_весна_2025 [24.02.2025 21:29]
timashev
+++ лекции_3_курс_фммф_весна_2025 [23.05.2025 10:25] (текущий)
timashev
@@ Строка 4: / Строка 4: @@
 Лекции читаются **по понедельникам** на **2**-й паре (10:45-12:20) в ауд. **14-14**.
+== Экзамен: ==
+  * 28 июня 2025, 10:00, ауд. 14-13
+{{:staff:timashev:lie-2025-spring.pdf|Программа экзамена}}
 == Литература: ==
@@ Строка 48: / Строка 53: @@
 Экспоненциальные координаты на группе Ли в окрестности единицы. Одновременная линеаризация всех подгрупп Ли в экспоненциальных координатах. Связная подгруппа Ли восстанавливается по своей касательной алгебре Ли. Пересечение подгрупп Ли — подгруппа Ли, её касательная алгебра Ли — пересечение касательных алгебр этих подгрупп.
-Линеаризация гомоморфизмов групп Ли в экспоненциальных координатах. Ядро и образ гомоморфизма групп Ли, их размерности и касательные алгебры Ли, прообраз подгруппы Ли при гомоморфизме, его касательная алгебра Ли (//формулировка теоремы//). Пример: группа Ли SL<sub>n</sub> и её касательная алгебра Ли. Плотная обмотка тора.
+Линеаризация гомоморфизмов групп Ли в экспоненциальных координатах. Ядро и образ гомоморфизма групп Ли, их размерности и касательные алгебры Ли, прообраз подгруппы Ли при гомоморфизме, его касательная алгебра Ли (//формулировка теоремы//). Примеры: группа Ли SL<sub>n</sub> и её касательная алгебра Ли, плотная обмотка тора.
+----
+=== 3 марта 2025 ===
+== Лекция 6 ==
+Ядро и образ гомоморфизма групп Ли, их размерности и касательные алгебры Ли, прообраз подгруппы Ли при гомоморфизме, его касательная алгебра Ли (//доказательство теоремы//). Восстановление гомоморфизма связной группы Ли по его дифференциалу.
+Связь между линейным представлением группы Ли и его дифференциалом — линейным представлением алгебры Ли: инвариантные подпространства, подпредставления и факторпредставления, приводимость, неприводимость, полная приводимость. Сопряжённое представление, прямая сумма и тензорное произведение линейных представлений групп Ли, их дифференциалы — соответствующие конструкции над линейными представлениями алгебр Ли.
+----
+=== 10 марта 2025 ===
+== Лекция 7 ==
+Действия групп Ли на многообразиях, орбитные отображения, __поля скоростей__. Касательная алгебра группы Ли изоморфна алгебре Ли правоинвариантных векторных полей. Свойства орбит и стабилизаторов. Стабилизатор вектора в линейном представлении группы Ли, его касательная алгебра Ли.
+----
+=== 17 марта 2025 ===
+== Лекция 8 ==
+Группа Ли автоморфизмов и алгебра Ли дифференцирований конечномерной алгебры. Представление изотропии. Транзитивные действия групп Ли и однородные многообразия. Орбитное отображение группы Ли на однородное многообразие является локально тривиальным расслоением.
+----
+=== 24 марта 2025 ===
+== Лекция 9 ==
+Свойства локально тривиальных расслоений: структура многообразия на базе определена однозначно, факторизационное свойство.
+Однородное многообразие группы Ли однозначно определяется стабилизатором базисной точки. Структура однородного многообразия на множестве левых смежных классов G/H группы Ли G по подгруппе Ли H. Представление изотропии на однородном многообразии, связь с присоединённым представлением. Нормальные подгруппы Ли и идеалы в касательной алгебре Ли. Структура группы Ли на факторгруппе G/H группы Ли G по нормальной подгруппе Ли H, её касательная алгебра Ли. Основная теорема о гомоморфизмах для групп Ли.
+----
+=== 31 марта 2025 ===
+== Лекция 10 ==
+Фундаментальная группа, односвязные многообразия, универсальное накрытие (//напоминания//). Универсальная накрываюшая и фундаментальная группа связной группы Ли.
+----
+=== 7 апреля 2025 ===
+== Лекция 11 ==
+Фундаментальная группа связной группы Ли коммутативна.
+Общий подход к проблеме классификации связных групп Ли: классификация алгебр Ли, построение соответствующих односвязных групп Ли, описание связных групп Ли как факторгрупп односвязных групп Ли по дискретным центральным подгруппам. Классификация связных коммутативных групп Ли.
+__Интегрирование__ гомоморфизмов касательных алгебр Ли: существование и единственность гомоморфизма односвязной группы Ли с заданным дифференциалом (//формулировка теоремы//). Единственность односвязной группы Ли с заданной касательной алгеброй Ли.
+__Годограф скорости__ движения точки по кривой на группе Ли. Существование и единственность кривой с заданным годографом скорости, проходящей через заданную точку в начальный момент времени. Деформация кривой на группе Ли, дифференциальное уравнение деформации.
+----
+=== 14 апреля 2025 ===
+== Лекция 12 ==
+Интегрирование гомоморфизмов касательных алгебр Ли (//доказательство теоремы//).
+__Центр__ и __коммутант__ связной группы Ли и её касательной алгебры Ли, связь между ними. Начало доказательства теоремы о коммутанте: включение [G,G] ⊂ H° для любой подгруппы Ли H ⊂ G с касательной алгеброй Lie(H) = [Lie(G), Lie(G)] в связной группе Ли G, построение такой подгруппы Ли H для односвязной группы Ли G.
+----
+=== 21 апреля 2025 ===
+== Лекция 13 ==
+Завершение доказательства теоремы о коммутанте: умножение и коммутатор в окрестности единицы в экспоненциальных координатах, коммутаторы в Lie(G) как касательные векторы к кривым в [G,G], равенство [G,G] = H° для подгруппы Ли H ⊂ G с касательной алгеброй Lie(H) = [Lie(G), Lie(G)]. Пример: [GL<sub>n</sub>, GL<sub>n</sub>] = SL<sub>n</sub>. __Разрешимые__ группы Ли и алгебры Ли, эквивалентность разрешимости связной группы Ли и её касательной алгебры Ли. Пример: разрешимость группы верхнетреугольных матриц. __Теорема Ли__ о линейных представлениях разрешимых групп Ли.
+----
+=== 28 апреля 2025 ===
+== Лекция 14 ==
+Следствия теоремы Ли: запись комплексных линейных представлений связных разрешимых групп Ли треугольными матрицами, одномерность неприводимых представлений. Версия теоремы Ли для разрешимых алгебр Ли. __Теорема Энгеля__ и её следствия.
+__Инвариантные скалярные умножения__ на алгебрах Ли, примеры: __стандартное скалярное умножение__ на линейной алгебре Ли, __форма Киллинга__. Ортогональное дополнение к идеалу относительно инвариантного скалярного умножения есть идеал. Критерий разрешимости линейной алгебры Ли в терминах стандартного скалярного умножения.
+----
+=== 5 мая 2025 ===
+== Лекция 15 ==
+__Полупростые__ алгебры Ли и группы Ли. Необходимое условие полупростоты линейной алгебры Ли в терминах стандартного скалярного умножения. __Критерий Картана__ разрешимости и полупростоты алгебры Ли в терминах формы Киллинга. Структура полупростых алгебр Ли: разложение в прямую сумму простых идеалов. __Теорема Вейля__ о полной приводимости линейных представлений полупростых алгебр Ли. Все дифференцирования полупростых алгебр Ли являются внутренними. Всякая полупростая алгебра Ли является касательной алгеброй Ли некоторой полупростой группы Ли.