| Предыдущая версия справа и слева
Предыдущая версия
Следующая версия
|
Предыдущая версия
|
лекции_3_курс_фммф_весна_2025 [21.04.2025 18:14]
timashev |
лекции_3_курс_фммф_весна_2025 [17.12.2025 14:52] (текущий)
timashev |
| |
| Лекции читаются **по понедельникам** на **2**-й паре (10:45-12:20) в ауд. **14-14**. | Лекции читаются **по понедельникам** на **2**-й паре (10:45-12:20) в ауд. **14-14**. |
| | |
| | == Экзамен: == |
| | * 28 июня 2025, 10:00, ауд. <del>14-13</del> <color #ed1c24>12-08</color> |
| | |
| | {{:staff:timashev:lie-2025-spring.pdf|Программа экзамена}} |
| |
| == Литература: == | == Литература: == |
| |
| __Группы Ли__ (вещественные и комплексные): определение и простейшие примеры. __Прямое произведение__ групп Ли. __Подгруппы Ли__, их задание уравнениями. Пример: O<sub>n</sub> ⊂ GL<sub>n</sub>. Подгруппа в группе Ли, являющаяся подмногообразием в окрестности единицы, есть подгруппа Ли. Замкнутость подгрупп Ли в объемлющей группе Ли. | __Группы Ли__ (вещественные и комплексные): определение и простейшие примеры. __Прямое произведение__ групп Ли. __Подгруппы Ли__, их задание уравнениями. Пример: O<sub>n</sub> ⊂ GL<sub>n</sub>. Подгруппа в группе Ли, являющаяся подмногообразием в окрестности единицы, есть подгруппа Ли. Замкнутость подгрупп Ли в объемлющей группе Ли. |
| | |
| | ---- |
| |
| == Лекция 2 == | == Лекция 2 == |
| |
| Завершение доказательства теоремы о коммутанте: умножение и коммутатор в окрестности единицы в экспоненциальных координатах, коммутаторы в Lie(G) как касательные векторы к кривым в [G,G], равенство [G,G] = H° для подгруппы Ли H ⊂ G с касательной алгеброй Lie(H) = [Lie(G), Lie(G)]. Пример: [GL<sub>n</sub>, GL<sub>n</sub>] = SL<sub>n</sub>. __Разрешимые__ группы Ли и алгебры Ли, эквивалентность разрешимости связной группы Ли и её касательной алгебры Ли. Пример: разрешимость группы верхнетреугольных матриц. __Теорема Ли__ о линейных представлениях разрешимых групп Ли. | Завершение доказательства теоремы о коммутанте: умножение и коммутатор в окрестности единицы в экспоненциальных координатах, коммутаторы в Lie(G) как касательные векторы к кривым в [G,G], равенство [G,G] = H° для подгруппы Ли H ⊂ G с касательной алгеброй Lie(H) = [Lie(G), Lie(G)]. Пример: [GL<sub>n</sub>, GL<sub>n</sub>] = SL<sub>n</sub>. __Разрешимые__ группы Ли и алгебры Ли, эквивалентность разрешимости связной группы Ли и её касательной алгебры Ли. Пример: разрешимость группы верхнетреугольных матриц. __Теорема Ли__ о линейных представлениях разрешимых групп Ли. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 28 апреля 2025 === |
| | |
| | == Лекция 14 == |
| | |
| | Следствия теоремы Ли: запись комплексных линейных представлений связных разрешимых групп Ли треугольными матрицами, одномерность неприводимых представлений. Версия теоремы Ли для разрешимых алгебр Ли. __Теорема Энгеля__ и её следствия. |
| | |
| | __Инвариантные скалярные умножения__ на алгебрах Ли, примеры: __стандартное скалярное умножение__ на линейной алгебре Ли, __форма Киллинга__. Ортогональное дополнение к идеалу относительно инвариантного скалярного умножения есть идеал. Критерий разрешимости линейной алгебры Ли в терминах стандартного скалярного умножения. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 5 мая 2025 === |
| | |
| | == Лекция 15 == |
| | |
| | __Полупростые__ алгебры Ли и группы Ли. Необходимое условие полупростоты линейной алгебры Ли в терминах стандартного скалярного умножения. __Критерий Картана__ разрешимости и полупростоты алгебры Ли в терминах формы Киллинга. Структура полупростых алгебр Ли: разложение в прямую сумму простых идеалов. __Теорема Вейля__ о полной приводимости линейных представлений полупростых алгебр Ли. Все дифференцирования полупростых алгебр Ли являются внутренними. Всякая полупростая алгебра Ли является касательной алгеброй Ли некоторой полупростой группы Ли. |
| |
