Кафедра высшей алгебры

Лектор: Д.А.Тимашёв

Лекции читаются по субботам на 3-й паре (12:30-14:05) а ауд. 13-06.

• 18 января 2024, 10:00, ауд. 14-14

• 17 января 2024, 16:00, ауд. 13-27

Программа экзамена

1. Э.Б. Винберг, А.Л. Онищик. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам.
2. Ж.-П. Серр. Алгебры Ли и группы Ли.
3. Ф. Уорнер. Основы теории гладких многообразий и групп Ли.

Группы Ли (вещественные и комплексные): определение и простейшие примеры. Прямое произведение групп Ли. Подгруппы Ли, их задание уравнениями. Пример: O_n ⊂ GL_n. Подгруппа в группе Ли, являющаяся подмногообразием в окрестности единицы, есть подгруппа Ли. Замкнутость подгрупп Ли в объемлющей группе Ли. Связная группа Ли порождается (как абстрактная группа) любой окрестностью единицы.

Компоненты связности группы Ли, связная компонента единицы и группа компонент. Пример: компоненты связности группы O_n(R).

Основные понятия дифференциального исчисления на многообразиях (напоминание): касательные векторы и касательные пространства, дифференциалы отображений, цепное правило. Дифференцирование умножения и инверсии на группе Ли.

Линеаризация дифференцируемых отображений постоянного ранга. Векторные поля. Дифференциальные уравнения (автономные, 1-го порядка) на многообразиях, фазовые кривые и фазовые потоки. Действие диффеоморфизмов на дифференциально-геометрические объекты на многообразии (функции, векторные поля, и т.п.). Производная Ли вдоль векторного поля. Коммутатор векторных полей.

Правоинвариантные векторные поля на группе Ли, их фазовые потоки и однопараметрические подгруппы. Экспоненциальное отображение, его свойства, экспоненциальные координаты на группе Ли в окрестности единицы.

Присоединённое представление и касательная алгебра группы Ли, примеры: GL_n, абелевы группы Ли. Дифференциал гомоморфизма групп Ли (в единице) — гомоморфизм касательных алгебр. Касательная алгебра подгруппы Ли есть подалгебра касательной алгебры группы Ли. Касательная алгебра группы Ли есть алгебра Ли.

Функтор Ли. Связь гомоморфизма групп Ли с его дифференциалом через экспоненциальное отображение (формула φ • exp = exp • dφ), случай линейного представления (в частности, Ad • exp = exp • ad). Экспонента суммы коммутирующих элементов касательной алгебры Ли равна произведению экспонент слагаемых.

Одновременная линеаризация всех подгрупп Ли в экспоненциальных координатах. Связная подгруппа Ли восстанавливается по своей касательной алгебре Ли. Пересечение подгрупп Ли — подгруппа Ли, её касательная алгебра Ли — пересечение касательных алгебр этих подгрупп.

Линеаризация гомоморфизмов групп Ли в экспоненциальных координатах, восстановление гомоморфизма связной группы Ли по его дифференциалу. Ядро и образ гомоморфизма групп Ли, их размерности и касательные алгебры Ли (формулировка теоремы). Плотная обмотка тора.

Ядро и образ гомоморфизма групп Ли, их размерности и касательные алгебры Ли. Прообраз подгруппы Ли при гомоморфизме, его касательная алгебра Ли.

Связь между линейным представлением группы Ли и его дифференциалом — линейным представлением алгебры Ли: инвариантные подпространства, подпредставления и факторпредставления, приводимость, неприводимость, полная приводимость. Сопряжённое представление, прямая сумма и тензорное произведение линейных представлений групп Ли, их дифференциалы — соответствующие конструкции над линейными представлениями алгебр Ли.

Действия групп Ли на многообразиях, орбитные отображения, поля скоростей. Касательная алгебра группы Ли изоморфна алгебре Ли правоинвариантных векторных полей. Свойства орбит и стабилизаторов. Стабилизатор вектора в линейном представлении группы Ли, его касательная алгебра Ли.

Группа Ли автоморфизмов и алгебра Ли дифференцирований конечномерной алгебры. Представление изотропии. Транзитивные действия групп Ли и однородные многообразия. Орбитное отображение группы Ли на однородное многообразие является локально тривиальным расслоением.

Однородное многообразие группы Ли однозначно определяется стабилизатором базисной точки. Структура однородного многообразия на множестве левых смежных классов G/H группы Ли G по подгруппе Ли H. Представление изотропии на однородном многообразии, связь с присоединённым представлением. Нормальные подгруппы Ли и идеалы в касательной алгебре Ли. Структура группы Ли на факторгруппе G/H группы Ли G по нормальной подгруппе Ли H.

Касательная алгебра Ли факторгруппы Ли. Основная теорема о гомоморфизмах для групп Ли.

Фундаментальная группа, односвязные многообразия, универсальное накрытие (напоминания). Универсальная накрываюшая и фундаментальная группа связной группы Ли.

Общий подход к проблеме классификации связных групп Ли: классификация алгебр Ли, построение соответствующих односвязных групп Ли, описание связных групп Ли как факторгрупп односвязных групп Ли по дискретным центральным подгруппам. Классификация связных коммутативных групп Ли.

Интегрирование гомоморфизмов касательных алгебр Ли: существование и единственность гомоморфизма односвязной группы Ли с заданным дифференциалом (формулировка теоремы). Единственность односвязной группы Ли с заданной касательной алгеброй Ли.

Годограф скорости движения точки по кривой на группе Ли. Существование и единственность кривой с заданным годографом скорости, проходящей через заданную точку в начальный момент времени. Деформация кривой на группе Ли, дифференциальное уравнение деформации.

Интегрирование гомоморфизмов касательных алгебр Ли (доказательство теоремы).

Центр и коммутант связной группы Ли и её касательной алгебры Ли, связь между ними. Пример: коммутант группы GL_n. Начало доказательства теоремы о коммутанте: существование подгруппы Ли H ⊂ G с касательной алгеброй Lie(H) = [Lie(G), Lie(G)] в односвязной группе Ли G, линейная связность коммутанта связной группы Ли.

Завершение доказательства теоремы о коммутанте: умножение и коммутатор в окрестности единицы в экспоненциальных координатах, коммутаторы в Lie(G) как касательные векторы к кривым в [G,G], коммутант — подгруппа Ли с касательной алгеброй Lie[G,G] = [Lie(G), Lie(G)]. Разрешимые группы Ли и алгебры Ли, эквивалентность разрешимости связной группы Ли и её касательной алгебры Ли. Пример: разрешимость группы верхнетреугольных матриц. Теорема Ли о линейных представлениях разрешимых групп Ли и её следствия: запись комплексных линейных представлений связных разрешимых групп Ли треугольными матрицами, одномерность неприводимых представлений.

Версия теоремы Ли для разрешимых алгебр Ли. Теорема Энгеля. Инвариантные скалярные умножения на алгебрах Ли, примеры: стандартное скалярное умножение на линейной алгебре Ли, форма Киллинга. Критерий разрешимости линейной алгебры Ли в терминах стандартного скалярного умножения.

Полупростые алгебры Ли и группы Ли. Необходимое условие полупростоты линейной алгебры Ли в терминах стандартного скалярного умножения. Критерий Картана разрешимости и полупростоты алгебры Ли в терминах формы Киллинга. Структура полупростых алгебр Ли: разложение в прямую сумму простых идеалов. Теорема Вейля о полной приводимости линейных представлений полупростых алгебр Ли. Все дифференцирования полупростых алгебр Ли являются внутренними. Всякая полупростая алгебра Ли является касательной алгеброй Ли некоторой полупростой группы Ли.