Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- лекции_4_курс_фммф_осень_2023 [07.10.2023 20:32]
timashev
+++ лекции_4_курс_фммф_осень_2023 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 4: / Строка 4: @@
 Лекции читаются **по субботам** на **3**-й паре (12:30-14:05) а ауд. **13-06**.
+== Экзамен: ==
+  * 18 января 2024, 10:00, ауд. 14-14
+== Консультация: ==
+  * 17 января 2024, 16:00, ауд. 13-27
+{{:staff:timashev:lie-23-fall.pdf|Программа экзамена}}
 == Литература: ==
@@ Строка 64: / Строка 72: @@
 == Лекция 6 ==
-Ядро и образ гомоморфизма групп Ли, их размерности и касательные алгебры Ли. Прообраз подгруппы Ли при гомоморфизме, его касательная алгебра Ли. Связь между линейным представлением группы Ли и его дифференциалом — линейным представлением алгебры Ли: инвариантные подпространства, подпредставления и факторпредставления, приводимость, неприводимость, полная приводимость. Сопряжённое представление, прямая сумма и тензорное произведение линейных представлений групп Ли, их дифференциалы — соответствующие конструкции над линейными представлениями алгебр Ли.
+Ядро и образ гомоморфизма групп Ли, их размерности и касательные алгебры Ли. Прообраз подгруппы Ли при гомоморфизме, его касательная алгебра Ли.
+Связь между линейным представлением группы Ли и его дифференциалом — линейным представлением алгебры Ли: инвариантные подпространства, подпредставления и факторпредставления, приводимость, неприводимость, полная приводимость. Сопряжённое представление, прямая сумма и тензорное произведение линейных представлений групп Ли, их дифференциалы — соответствующие конструкции над линейными представлениями алгебр Ли.
+----
+=== 14 октября 2023 ===
+== Лекция 7 ==
+Действия групп Ли на многообразиях, орбитные отображения, __поля скоростей__. Касательная алгебра группы Ли изоморфна алгебре Ли правоинвариантных векторных полей. Свойства орбит и стабилизаторов. Стабилизатор вектора в линейном представлении группы Ли, его касательная алгебра Ли.
+----
+=== 21 октября 2023 ===
+== Лекция 8 ==
+Группа Ли автоморфизмов и алгебра Ли дифференцирований конечномерной алгебры. Представление изотропии. Транзитивные действия групп Ли и однородные многообразия. Орбитное отображение группы Ли на однородное многообразие является локально тривиальным расслоением.
+----
+=== 28 октября 2023 ===
+== Лекция 9 ==
+Однородное многообразие группы Ли однозначно определяется стабилизатором базисной точки. Структура однородного многообразия на множестве левых смежных классов G/H группы Ли G по подгруппе Ли H. Представление изотропии на однородном многообразии, связь с присоединённым представлением. Нормальные подгруппы Ли и идеалы в касательной алгебре Ли. Структура группы Ли на факторгруппе G/H группы Ли G по нормальной подгруппе Ли H.
+----
+=== 11 ноября 2023 ===
+== Лекция 10 ==
+Касательная алгебра Ли факторгруппы Ли. Основная теорема о гомоморфизмах для групп Ли.
+Фундаментальная группа, односвязные многообразия, универсальное накрытие (//напоминания//). Универсальная накрываюшая и фундаментальная группа связной группы Ли.
+----
+=== 18 ноября 2023 ===
+== Лекция 11 ==
+Общий подход к проблеме классификации связных групп Ли: классификация алгебр Ли, построение соответствующих односвязных групп Ли, описание связных групп Ли как факторгрупп односвязных групп Ли по дискретным центральным подгруппам. Классификация связных коммутативных групп Ли.
+__Интегрирование__ гомоморфизмов касательных алгебр Ли: существование и единственность гомоморфизма односвязной группы Ли с заданным дифференциалом (//формулировка теоремы//). Единственность односвязной группы Ли с заданной касательной алгеброй Ли.
+__Годограф скорости__ движения точки по кривой на группе Ли. Существование и единственность кривой с заданным годографом скорости, проходящей через заданную точку в начальный момент времени. Деформация кривой на группе Ли, дифференциальное уравнение деформации.
+----
+=== 25 ноября 2023 ===
+== Лекция 12 ==
+Интегрирование гомоморфизмов касательных алгебр Ли (//доказательство теоремы//).
+__Центр__ и __коммутант__ связной группы Ли и её касательной алгебры Ли, связь между ними. Пример: коммутант группы GL_n. Начало доказательства теоремы о коммутанте: существование подгруппы Ли H ⊂ G с касательной алгеброй Lie(H) = [Lie(G), Lie(G)] в односвязной группе Ли G, линейная связность коммутанта связной группы Ли.
+----
+=== 2 декабря 2023 ===
+== Лекция 13 ==
+Завершение доказательства теоремы о коммутанте: умножение и коммутатор в окрестности единицы в экспоненциальных координатах, коммутаторы в Lie(G) как касательные векторы к кривым в [G,G], коммутант — подгруппа Ли с касательной алгеброй Lie[G,G] = [Lie(G), Lie(G)]. __Разрешимые__ группы Ли и алгебры Ли, эквивалентность разрешимости связной группы Ли и её касательной алгебры Ли. Пример: разрешимость группы верхнетреугольных матриц. __Теорема Ли__ о линейных представлениях разрешимых групп Ли и её следствия: запись комплексных линейных представлений связных разрешимых групп Ли треугольными матрицами, одномерность неприводимых представлений.
+----
+=== 5 декабря 2023 ===
+== Лекция 14 ==
+Версия теоремы Ли для разрешимых алгебр Ли. __Теорема Энгеля__. __Инвариантные скалярные умножения__ на алгебрах Ли, примеры: __стандартное скалярное умножение__ на линейной алгебре Ли, __форма Киллинга__. Критерий разрешимости линейной алгебры Ли в терминах стандартного скалярного умножения.
+----
+=== 9 декабря 2023 ===
+== Лекция 15 ==
+__Полупростые__ алгебры Ли и группы Ли. Необходимое условие полупростоты линейной алгебры Ли в терминах стандартного скалярного умножения. __Критерий Картана__ разрешимости и полупростоты алгебры Ли в терминах формы Киллинга. Структура полупростых алгебр Ли: разложение в прямую сумму простых идеалов. __Теорема Вейля__ о полной приводимости линейных представлений полупростых алгебр Ли. Все дифференцирования полупростых алгебр Ли являются внутренними. Всякая полупростая алгебра Ли является касательной алгеброй Ли некоторой полупростой группы Ли.