Это старая версия документа!
Основы теории Ли, 4 курс, поток ФММФ, 441 группа
Лектор: Д.А.Тимашёв
Лекции читаются по субботам на 3-й паре (12:30-14:05) а ауд. 13-06.
Литература:
- Э.Б. Винберг, А.Л. Онищик. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам.
- Ж.-П. Серр. Алгебры Ли и группы Ли.
- Ф. Уорнер. Основы теории гладких многообразий и групп Ли.
2 сентября 2023
Лекция 1
Группы Ли (вещественные и комплексные): определение и простейшие примеры. Прямое произведение групп Ли. Подгруппы Ли, их задание уравнениями. Пример: O_n ⊂ GL_n. Подгруппа в группе Ли, являющаяся подмногообразием в окрестности единицы, есть подгруппа Ли. Замкнутость подгрупп Ли в объемлющей группе Ли. Связная группа Ли порождается (как абстрактная группа) любой окрестностью единицы.
9 сентября 2023
Лекция 2
Компоненты связности группы Ли, связная компонента единицы и группа компонент. Пример: компоненты связности группы O_n(R).
Основные понятия дифференциального исчисления на многообразиях (напоминание): касательные векторы и касательные пространства, дифференциалы отображений, цепное правило. Дифференцирование умножения и инверсии на группе Ли.
16 сентября 2023
Лекция 3
Линеаризация дифференцируемых отображений постоянного ранга. Векторные поля. Дифференциальные уравнения (автономные, 1-го порядка) на многообразиях, фазовые кривые и фазовые потоки. Действие диффеоморфизмов на дифференциально-геометрические объекты на многообразии (функции, векторные поля, и т.п.). Производная Ли вдоль векторного поля. Коммутатор векторных полей.
23 сентября 2023
Лекция 4
Правоинвариантные векторные поля на группе Ли, их фазовые потоки и однопараметрические подгруппы. Экспоненциальное отображение, его свойства, экспоненциальные координаты на группе Ли в окрестности единицы.
Присоединённое представление и касательная алгебра группы Ли, примеры: GL_n, абелевы группы Ли. Дифференциал гомоморфизма групп Ли (в единице) — гомоморфизм касательных алгебр. Касательная алгебра подгруппы Ли есть подалгебра касательной алгебры группы Ли. Касательная алгебра группы Ли есть алгебра Ли.
30 сентября 2023
Лекция 5
Функтор Ли. Связь гомоморфизма групп Ли с его дифференциалом через экспоненциальное отображение (формула φ • exp = exp • dφ), случай линейного представления (в частности, Ad • exp = exp • ad). Экспонента суммы коммутирующих элементов касательной алгебры Ли равна произведению экспонент слагаемых.
Одновременная линеаризация всех подгрупп Ли в экспоненциальных координатах. Связная подгруппа Ли восстанавливается по своей касательной алгебре Ли. Пересечение подгрупп Ли — подгруппа Ли, её касательная алгебра Ли — пересечение касательных алгебр этих подгрупп.
Линеаризация гомоморфизмов групп Ли в экспоненциальных координатах, восстановление гомоморфизма связной группы Ли по его дифференциалу. Ядро и образ гомоморфизма групп Ли, их размерности и касательные алгебры Ли (формулировка теоремы). Плотная обмотка тора.
7 октября 2023
Лекция 6
Ядро и образ гомоморфизма групп Ли, их размерности и касательные алгебры Ли. Прообраз подгруппы Ли при гомоморфизме, его касательная алгебра Ли.
Связь между линейным представлением группы Ли и его дифференциалом — линейным представлением алгебры Ли: инвариантные подпространства, подпредставления и факторпредставления, приводимость, неприводимость, полная приводимость. Сопряжённое представление, прямая сумма и тензорное произведение линейных представлений групп Ли, их дифференциалы — соответствующие конструкции над линейными представлениями алгебр Ли.
14 октября 2023
Лекция 7
Действия групп Ли на многообразиях, орбитные отображения, поля скоростей. Касательная алгебра группы Ли изоморфна алгебре Ли правоинвариантных векторных полей. Свойства орбит и стабилизаторов. Стабилизатор вектора в линейном представлении группы Ли, его касательная алгебра Ли.
21 октября 2023
Лекция 8
Группа Ли автоморфизмов и алгебра Ли дифференцирований конечномерной алгебры. Представление изотропии. Транзитивные действия групп Ли и однородные многообразия. Орбитное отображение группы Ли на однородное многообразие является локально тривиальным расслоением.
28 октября 2023
Лекция 9
Однородное многообразие группы Ли однозначно определяется стабилизатором базисной точки. Структура однородного многообразия на множестве левых смежных классов G/H группы Ли G по подгруппе Ли H. Представление изотропии на однородном многообразии, связь с присоединённым представлением. Нормальные подгруппы Ли и идеалы в касательной алгебре Ли. Структура группы Ли на факторгруппе G/H группы Ли G по нормальной подгруппе Ли H.
11 ноября 2023
Лекция 10
Касательная алгебра Ли факторгруппы Ли. Основная теорема о гомоморфизмах для групп Ли.
Фундаментальная группа, односвязные многообразия, универсальное накрытие (напоминания). Универсальная накрываюшая и фундаментальная группа связной группы Ли.