Преподаватель: Д.А.Тимашёв

Занятия проходят по средам на каждой чётной неделе на 2-й паре (10:45-12:20) в ауд. 454 и по пятницам на 2-й паре (10:45-12:20) в ауд. 454.

Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, 3-е изд., Москва, Физматлит, 2001. Дополнительные задачи помечены знаком ★.

Системы линейных уравнений (СЛУ). Метод Крамера решения квадратных СЛУ малых размеров (2×2 и 3×3). Определители 2-го и 3-го порядка.

• 8.6вд, 8.2е, 9.1гд, 9.2ж, 16.1а;
• решить методом Крамера систему линейных уравнений:
• 

Решение СЛУ методом Гаусса. Связь решений совместной СЛУ и ассоциированной однородной системы линейных уравнений (ОСЛУ). Критерии определённости совместной СЛУ и квадратной СЛУ: ассоциированная ОСЛУ должна быть определена. Задача интерполяции, теорема о полиномиальной интерполяции.

• 8.1вг, 8.2вг, 8.8;
• закончить доказательство теоремы о полиномиальной интерполяции;
• ★ найти явную формулу для интерполяционного многочлена.

Линейная зависимость, базис системы векторов, координаты вектора в базисе. Стандартный базис в R^n. Когда система векторов обладает единственным базисом? Ранг системы векторов и размерность пространства. Алгоритм нахождения базиса конечной системы векторов в R^n.

• 6.4, 6.13, 6.14, 6.12вги;
• ★ доказать, что данная матрица элементарными преобразованиями строк приводится к единственному улучшенному ступенчатому виду.

Ранг матрицы, его свойства: неизменность при элементарных преобразованиях и транспонировании. Вычисление ранга матрицы.

• 7.1дл, 7.2аз, 7.5, 7.6, 7.7, 7.10.

Фундаментальная система решений ОСЛУ. Арифметические операции над матрицами (сложение матриц, умножение матриц на числа, умножение матриц).

• 8.4вг, 8.25★, 17.1бв, 17.4ав, 17.25.

Свойства матричных операций, некоммутативность умножения матриц. Нулевая и единичная матрицы. Делители нуля и нильпотентные матрицы, нильпотентность нильтреугольных матриц. Умножение на диагональные матрицы и матричные единицы. Квадратные матрицы, коммутирующие со всеми матрицами того же размера, скалярны.

• 19.15, 19.26, 17.13, 17.17, 19.14, 17.26★.

Обратная матрица, её нахождение. Если матрица A нильпотентна, то матрицы E+A и E-A обратимы. Решение матричных уравнений вида AX=B. Элементарные матрицы, их обратимость, умножение на них слева и справа. Матрица, обратная к транспонированной.

• 18.9кл, 18.3взи, 19.21, 18.17★, 19.4аг;
• как изменится A^{-1}, если матрицу A подвергнуть одному из следующих преобразований:
  • записать её строки в обратном порядке;
  • транспонировать относительно побочной диагонали;
  • повернуть на 90º против часовой стрелки?

Умножение подстановок. Разложение подстановки на независимые циклы, применение к возведению подстановок в степень. Решение уравнений в подстановках.

• 3.1вг, 3.2аге, 3.3ав, 3.4аб, 3.13;
• решить уравнения в подстановках:
• 
• (задача о квартирном обмене) Несколько семей хотят обменяться квартирами. За один день каждая семья может принять участие не более чем в одном обмене квартирами с какой-нибудь другой семьей. Доказать, что любой сложный обмен можно осуществить не более чем за два дня.

Чётность и знак перестановок и подстановок. Знак цикла. Задача про «пятнашки»: можно ли, последовательно передвигая фишки на соседнее свободное место, поменять местами фишки 14 и 15, оставив остальные фишки на месте? Можно ли, вращая слои куба Рубика на шарнирах, добиться того, чтобы угловые кубики одной из граней переставились по кругу, а остальные кубики остались на своих местах (возможно, повернувшись)?

Определители квадратных матриц, их вычисление по развёрнутой формуле. Поведение определителя при различных преобразованиях матрицы.

• 3.6бвж, 3.11, 3.22, 10.4б, 16.2, 11.1гд, 11.4;
• можно ли, вращая слои куба Рубика на шарнирах, добиться того, чтобы один из боковых кубиков в нём перевернулся, а остальные остались на своих местах, не изменив положения?

Вычисление определителей приведением к треугольному виду. Определитель Вандермонда. Разложение определителей по строке и столбцу.

• 13.1бвж, 13.2ежз, 14.1зкм★н, 12.2.

Вычисление определителей разложением по строке и столбцу. Трёхдиагональные определители и линейные однородные рекуррентные уравнения 2-го порядка.

• 12.3ези, 14.1где, 12.4, 4.5;
• вычислить определитель:
• 

Определитель произведения матриц. Ранг произведения матриц, случай невырожденности одного из сомножителей. Ранг присоединённой матрицы.

• 15.2бвг, 16.19, 7.11, 16.4, 18.8гкл.

1. Решение СЛУ в зависимости от параметра.
2. Нахождение ФСР и размерности пространства решений ОСЛУ (1 вариант); нахождение базиса системы векторов и выражение через него остальных векторов системы (2 вариант).
3. Решение матричного уравнения (1 вариант); нахождение обратной матрицы (2 вариант).
4. Вычисление определителя размера 4×4.
5. Вычисление определителя размера n×n.
6. Вычисление трёхдиагонального определителя (1 вариант); решение уравнения в подстановках (2 вариант).

Кольца и поля вычетов. Решение СЛУ и квадратных уравнений над полями вычетов. Использование колец вычетов для решения диофантовых уравнений (примеры: 23x-17y=5, 3x²+2=y², 7x²+2=y³). Малая теорема Ферма. Обратимые элементы кольца вычетов, функция Эйлера, теорема Эйлера. Задача: последовательность k_1=2, k_{n+1}=2^{k_n} стабилизируется по модулю 7. Квадратичные вычеты, символ Лежандра.

• 66.20, 8.10б, 66.24вг, 66.23ав, 66.32;
• решить диофантовы уравнения: 41x-11y=19, 35x+21y=14, 15x²-7y²=9;
• ★ доказать, что для любых a∈Z и m∈N последовательность k_1=a, k_{n+1}=a^{k_n} стабилизируется по модулю m.
• доказать, что символ Лежандра элемента a∈Z_p равен знаку подстановки на множестве Z_p\{0}, задаваемой умножением на a.

Поле комплексных чисел. Вычисления над комплексными числами в алгебраической форме. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, решение алгебраических задач геометрическими методами (пример: уравнение |(z+1-i)/(z-1+i)|=1) и геометрических задач методами алгебры комплексных чисел (пример: доказательство теоремы о том, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон).

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел, формула Муавра, вычисления над комплексными числами в тригонометрической форме. Выражение тригонометрических функций кратных углов через функции исходного угла и степеней тригонометрических функций через функции кратных углов в первой степени с помощью комплексных чисел.

• 20.1еж, 21.2бж, 21.9аг, 21.10, 21.12, 21.13г;
• доказать с помощью комплексных чисел теорему Птолемея: произведение диагоналей четырёхугольника, вписанного в окружность, равно сумме произведений его противоположных сторон.

Извлечение корней из комплексных чисел. Задача: вычислить cos(2π/5) в радикалах с помощью комплексных корней 5-й степени из 1. Группа U_n комплексных корней степени n из 1, сумма и произведение всех корней степени n из 1. Вычисление сумм с помощью комплексных чисел.

• 22.7ипр, 22.8г, 22.9бв, 22.17аб, 22.22★, 23.1вг, 23.2бв.