Кафедра высшей алгебры

Преподаватель: Д.А. Тимашёв

Занятия проходят по субботам на 2-й паре (10:45-12:20) в ауд. 16-08.

• 25 декабря 2023, 9:00−13:00, ауд. 436
• 27 декабря 2023, 9:00−13:00, ауд. 434
• 29 декабря 2023, 9:00−13:00, ауд. 436

• 20 января 2024, 10:00, ауд. 13-02

Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И. Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★.

Группы (напоминание из 1-го семестра): определение, единственность нейтрального и обратного элементов в группе, абелевы группы, мультипликативная и аддитивная терминологии. Примеры групп: аддитивные и мультипликативные группы колец и полей, матричные и линейные группы, группы движений (в т.ч. группа диэдра D_n), группы подстановок (симметрическая группа S_n и знакопеременная группа A_n). Задание конечной группы таблицей умножения, примеры: группа Клейна V_4 и группа кватернионов Q_8. Изоморфизм групп, примеры изоморфных и неизоморфных групп: аддитивная и мультипликативная группы поля R, а также группа положительных вещественных чисел по умножению; Z_6, S_3 и D_3; Z_4 и V_4. Порядок элемента группы, его свойства, циклические подгруппы. Теорема Лагранжа и её следствия о порядках элементов в конечных группах.

• 55.16, 55.25абг, 55.26, 56.7, 56.10, 56.11;
• какие из групп изоморфны: аддитивная группа поля рациональных чисел, его мультипликтивная группа, группа положительных рациональных чисел (по умножению)?
• изоморфны ли группы GL_2(C) и GL_3(C)?

Проблема классификации конечных групп, группы простого порядка. Сопряжённость элементов в группе, классы сопряжённости, центр группы. Вычисление классов сопряженности и центра для групп Q_8, S_n, D_n.

• ★ доказать, что любая группа порядка 6 изоморфна либо Z_6 либо S_3;
• 57.29, 57.30б, 57.36, 58.20бв, 58.23, 58.24агж.

Классы сопряженности в группе A_n. Нормальные подгруппы, их перечисление в группах S_3, S_4. Факторгруппы.

• 58.1абд, 58.2, 58.3, 58.4б, 58.9, 58.10, 58.11а, 58.39.

Вычисление факторгрупп с помощью основной теоремы о гомоморфизмах. Автоморфизмы групп, группа внутренних автоморфизмов Inn(G), её нормальность в Aut(G).

• 57.40, 58.32де, 58.33ге, 58.41, 58.43;
• ★ доказать, что Aut(S_n) = Inn(S_n) ≅ S_n, кроме случаев n=2,6.

Автоморфизмы циклических групп, вычисление Aut(Aut(Aut Z_9)). Прямое произведение (прямая сумма) групп, примеры разложений и неразложимости групп в прямые произведения (прямые суммы).

• 57.39а, 57.41б, 60.2бвг, 60.7, 60.8б, 60.12;
• доказать, что группа Z_{p^k} (p — простое число) не разложима (нетривиальным образом) в прямую сумму.

Системы порождающих в группе, конечно порождённые и не конечно порождённые группы, примеры. Случай абелевых групп, свободные конечно порождённые группы. Структура конечно порождённых абелевых групп, её определение, исходя из представления группы в виде факторгруппы свободной группы по подгруппе, заданной набором порождающих элементов, приведением целочисленной матрицы координат порождающих элементов подгруппы к «диагональному» виду. Вычисление порядка элемента в конечно порождённой абелевой группе, представленной как факторгруппа свободной группы.

• 60.32, 60.50, 60.51, 60.52агд, 60.53.
• Доказать:
  1. группа S_n порождена транспозицией (1,2) и циклом (1,2,…,n);
  2. группа A_n порождена тройными циклами;
  3. группа SL_n(K) порождена элементарными матрицами 1-го типа.
• Являются ли конечно порождёнными следующие группы:
  1. группа рациональных дробей m/n, у которых простые делители n содержатся среди {p_1,…,p_s}, с операцией сложения;
  2. группа рациональных дробей m/n≠0, у которых простые делители m и n содержатся среди {p_1,…,p_s}, с операцией умножения.
• Пусть F — свободная абелева группа с базисом f_1, f_2, f_3, и H — её подгруппа, порождённая элементами h_1 = (8,4,-4), h_2 = (3,4,1), h_3 = (2,-4,-6) (элементы заданы своими координатами в базисе f_1, f_2, f_3). Для элемента f = (5,6,1) найти порядок смежного класса f+H в факторгруппе F/H.

Конечные абелевы группы, их структура, тип группы. Классификация конечных абелевых групп заданного порядка. Определение типа факторгруппы конечной (или конечно порождённой) абелевой группы. Вложимость конечных абелевых групп друг в друга.

• 60.39ежз, 60.40ав, 60.42, 60.43а, 60.45.

Количество подгрупп заданного порядка в данной конечной абелевой группе. Действия групп на множествах, описание орбит и стабилизаторов. Действие группы на себе сопряжениями: классы сопряжённости и централизаторы, число элементов в классе сопряжённости.

• 60.43бв, 57.1бв, 57.2, 57.9бв, 57.12в, 57.23б, 57.25, 57.31.

Формула классов. Нетривиальность центра конечной p-группы. Группы порядка p^2 (p — простое число). Силовские подгруппы, теоремы Силова, примеры: силовские подгруппы в A_4, в GL_2(Z_p).

• 58.44, 59.3а, 59.4а, 59.9, 59.13где, 59.15, 59.17;
• ★ доказать, что существуют ровно две (с точностью до изоморфизма) неабелевы группы порядка p^3 (p — простое число);
• описать все силовские подгруппы в D_3×A_4.

Коммутант группы, его свойства. Вычисление коммутанта группы G методом оценки сверху (ядро гомоморфизма G в абелеву группу) и снизу (подгруппа, порождённая некоторым количеством коммутаторов). Кратные коммутанты, разрешимые группы, критерий разрешимости (в терминах подгруппы и факторгруппы).

• 62.7бг, 62.8б, 62.10, 62.11в, 62.13, 62.20, 58.38;
• вычислить производный ряд для группы, состоящей из невырожденных действительных матриц вида
• 

Арифметика конечных групп: доказательство непростоты, разрешимости и коммутативности групп заданного порядка.

Линейные и матричные представления групп, в том числе мономиальное представление симметрической группы и представление в пространстве функций на множестве с действием группы.

• 59.20вг, 59.22ав, 59.23, 59.24, 62.18вгде★, 69.7, 69.9.

Приводимые, неприводимые и вполне приводимые представления, разложение в прямую сумму неприводимых представлений (пример: разложение мономиального представления). Теорема Машке. Описание неприводимых комплексных представлений конечных абелевых групп (пример: V_4). Описание одномерных комплексных представлений конечных групп (примеры: S_n, S_3×D_5). Факты о количестве и размерностях неприводимых комплексных представлений конечной группы. Описание всех неприводимых комплексных представлений групп S_3 и S_4.

• 70.2жз, 70.10, 70.34е, 70.37аб, 70.39;
• разложить мономиальное представление группы A_n над C в прямую сумму неприводимых представлений;
• описать все одномерные комплексные представления группы A_4×D_4;
• описать все неприводимые комплексные представления групп Q_8 и A_4.

Кольца, алгебры, структурные константы. Классификация двумерных комплексных алгебр с единицей. Идеалы, главные идеалы, кольца главных идеалов. Факторалгебры K[x]/(f), их свойства, вычисления в K[x]/(f). Присоединение корня, избавление от иррациональности в знаменателе.

• 63.21б, 63.22а, 64.2, 64.8б, 64.43, 67.12★;
• представить выражение (a²-3a-1)/(a²+2a+1) в виде многочлена от a наименьшей возможной степени с рациональными коэффициентами, где a∈C — корень многочлена x³+x²+3x+4.

1. Вычисление факторгруппы свободной абелевой группы и нахождение в ней порядка заданного элемента (1 вариант) и количества элементов заданного порядка (2 вариант).
2. Нахождение централизатора элемента группы подстановок и количества элементов в его классе сопряжённости (1 вариант); описание орбит действия группы на множестве (2 вариант).
3. Доказательство коммутативности группы заданного порядка (1 вариант); описание силовских подгрупп в группе (2 вариант).
4. Вычисление производного ряда группы (1 вариант); доказательство разрешимости группы заданного порядка (2 вариант).
5. Описание одномерных комплексных представлений группы.
6. Избавление от иррациональности в знаменателе выражения в поле, получаемом присоединением корня неприводимого многочлена к полю Z_3 (1 вариант) и C (2 вариант).