Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- семинары_105_группа_осень_2018 [31.10.2018 12:53]
timashev
+++ семинары_105_группа_осень_2018 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 6: / Строка 6: @@
 Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И.Кострикина, 3-е изд., Москва, Физматлит, 2001. Дополнительные задачи помечены знаком ★.
-**<fc #FF0000>Контрольная работа</fc>** пройдёт на семинаре в среду **7 ноября**.
 ----
@@ Строка 137: / Строка 135: @@
 == Домашнее задание: ==
   * 7.11, 16.4б, 18.8гкл.
+----
+=== 7 ноября 2018 ===
+== Контрольная работа ==
+  - Решение СЛУ в зависимости от параметра.
+  - Нахождение ФСР и размерности пространства решений ОСЛУ (//1 вариант//); нахождение базиса системы векторов и выражение через него остальных векторов системы (//2 вариант//).
+  - Нахождение обратной матрицы (//1 вариант//); решение матричного уравнения (//2 вариант//).
+  - Вычисление определителя размера 4×4.
+  - Вычисление определителя размера n×n.
+  - Решение уравнения в подстановках (//1 вариант//); вычисление трёхдиагонального определителя (//2 вариант//).
+----
+=== 14 ноября 2018 ===
+Кольца и поля вычетов. Решение СЛУ и квадратных уравнений над полями вычетов. Использование колец вычетов для решения диофантовых уравнений (примеры: 23x-17y=5, 3x²+2=y², 7x²+2=y³). Малая теорема Ферма. Обратимые элементы кольца вычетов, функция Эйлера, теорема Эйлера. Задача: последовательность k_1=2, k_{n+1}=2^{k_n} стабилизируется по модулю 7. Квадратичные вычеты, символ Лежандра.
+== Домашнее задание: ==
+  * 66.20, 8.10б, 66.24вг, 66.23ав, 66.32;
+  * решить диофантовы уравнения: 41x-11y=19, 35x+21y=14, 15x²-7y²=9;
+  * доказать, что для любых a∈**Z** и m∈**N** последовательность k_1=a, k_{n+1}=a^{k_n} стабилизируется по модулю m;
+  * ★ доказать, что символ Лежандра элемента a∈**Z**_p равен знаку подстановки на множестве **Z**_p\{0}, задаваемой умножением на a.
+----
+=== 19 ноября 2018 ===
+Поле комплексных чисел. Вычисления над комплексными числами в алгебраической форме. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, решение алгебраических задач геометрическими методами (пример: уравнение |(z+1-i)/(z-1+i)|=1) и геометрических задач методами алгебры комплексных чисел (пример: доказательство теоремы о том, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон).
+Тригонометрическая форма записи комплексных чисел, формула Муавра, вычисления над комплексными числами в тригонометрической форме. Выражение тригонометрических функций кратных углов через функции исходного угла и степеней тригонометрических функций через функции кратных углов в первой степени с помощью комплексных чисел.
+Свойства операции сопряжения. Автоморфизмы полей и их расширений, группы Галуа.
+== Домашнее задание: ==
+  * 20.1еж, 21.2бж, 21.9аг, 21.10, 21.12, 21.13г;
+  * доказать с помощью комплексных чисел //теорему Птолемея//: произведение диагоналей четырёхугольника, вписанного в окружность, равно сумме произведений его противоположных сторон;
+  * найти группы Галуа Gal(**C**/**R**) и Gal(**R**).
+----
+=== 21 ноября 2018 ===
+Извлечение корней из комплексных чисел. Группа **U**_n комплексных корней степени n из 1, сумма и произведение всех корней степени n из 1. Вычисление сумм с помощью комплексных чисел.
+== Домашнее задание: ==
+  * 22.7еипр, 22.8а, 22.9б, 22.17аб, 22.22★, 23.1вг, 23.2бв.
+----
+=== 28 ноября 2018 ===
+Многочлены от одной переменной над полем K: деление с остатком на линейный двучлен, теорема Безу, схема Горнера. Разложение многочлена по степеням линейного двучлена, значения высших производных и кратность корня многочлена. Наибольший общий делитель (НОД) многочленов и алгоритм Евклида. Линейное выражение НОД через исходные многочлены: (f,g)=uf+vg, его единственность при ограничениях на степени u и v, и его нахождение методом неопределённых коэффициентов.
+== Домашнее задание: ==
+  * 26.1бв, 26.2бв, 26.3бв, 26.4, 26.7ав, 26.11★, 25.2вг, 25.3б;
+  * найти НОД многочленов x^n-1 и x^m-1.
+----
+=== 3 декабря 2018 ===
+Избавление от кратных множителей в разложении многочлена на неприводимые множители. Разложение многочленов на неприводимые множители над полями **C** и **R**.
+== Домашнее задание: ==
+  * 25.8б, 27.1в, 27.3, 27.4б, 28.8★, 28.9аг★.
+----
+=== 12 декабря 2018 ===
+Неприводимых многочленов над любым полем бесконечно много. Существование неприводимых многочленов сколь угодно большой степени над конечным полем. "Решето Эратосфена" для нахождения всех неприводимых многочленов степени ≤n над конечным полем. Нахождение всех неприводимых многочленов степени ≤5 над полем **Z**_2. Рациональные корни многочлена с целыми или рациональными коэффициентами. Разложимость многочлена с целыми коэффициентами на множители меньшей степени в **Q**[x] равносильна разложимости на множители меньшей степени в **Z**[x]. Редукция многочленов с целыми коэффициентами по простому модулю, её свойства. Редукционный признак неприводимости. Разложение многочленов на неприводимые множители над **Q** с помощью редукций.
+== Домашнее задание: ==
+  * 28.1в, 28.2бв, 28.3, 28.23;
+  * найти все неприводимые многочлены степени ≤3 со старшим коэффициентом 1 над полем **Z**_3;
+  * разложить на неприводимые множители над полем **Q**:
+    - 3x^5-2x^4+5x^3-4x^2-5x-1,
+    - 2x^4-3x^3+5x^2+8x-5,
+    - 3x^4-x^3+5x^2+8x-7.
+----
+=== 13 декабря 2018 ===
+Признак Эйзенштейна, неприводимость многочлена деления круга на простое число частей.
+Рациональные дроби: представление в виде суммы многочлена и правильной дроби, разложение правильной дроби в сумму простейших дробей методом неопределённых коэффициентов, случай полей **C** и **R**.
+== Домашнее задание: ==
+  * 28.9абвде, 29.1бе, 29.2аги, 29.3;
+  *★ доказать, что многочлен x^4-10x^2+1 неприводим над **Q**, но его редукция по любому простому модулю p приводима над **Z**_p.
+----
+=== 17 декабря 2018 ===
+Симметрические многочлены, примеры: степенные суммы s_k и элементарные симметрические многочлены σ_k. Основная теорема о симметрических многочленах, метод неопределённых коэффициентов для нахождения выражения произвольного симметрического многочлена через элементарные. Выражение степенных сумм s_1, s_2, s_3, s_4 через элементарные симметрические многочлены. Решение симметрических систем алгебраических уравнений.
+== Домашнее задание: ==
+  * 29.2аги, 31.9авер, 31.15, 31.21б, 31.2, 31.5, 31.25.
+----
+=== 19 декабря 2018 ===
+== Контрольная работа ==
+  - Возведение в степень (//1 вариант//) и извлечение корней (//2 вариант//) в поле **C**.
+  - Нахождение НОД двух многочленов и его линейного выражения через эти многочлены.
+  - Разложение многочлена на неприводимые множители над полем **R** (//1 вариант//); разложение многочлена по степеням линейного двучлена, определение кратности корня и вычисление значений высших производных (//2 вариант//).
+  - Разложение многочлена на неприводимые множители над полем **Q**.
+  - Разложение рациональной дроби в сумму многочлена и простейших дробей над полем **C** (//1 вариант//) и **R** (//2 вариант//).
+  - Выражение симметрического многочлена через элементарные симметрические многочлены.