Кафедра высшей алгебры

Вы посетили: » семинары_105_группа_осень_2018



      

Семинары, 105 группа

Преподаватель: Д.А.Тимашёв

Занятия проходят по понедельникам на каждой нечётной неделе на 1-й паре (9:00-10:35) в ауд. 406 и по средам на 1-й паре (9:00-10:35) в ауд. 16-13.

Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, 3-е изд., Москва, Физматлит, 2001. Дополнительные задачи помечены знаком ★.


5 сентября 2018

Системы линейных уравнений (СЛУ), их решение методом Гаусса. Связь решений совместной СЛУ и ассоциированной однородной системы линейных уравнений (ОСЛУ). Критерии определённости совместной СЛУ и квадратной СЛУ: ассоциированная ОСЛУ должна быть определена. Задача интерполяции, теорема о полиномиальной интерполяции.

Домашнее задание:
  • 8.1вг, 8.2вг, 8.8;
  • ★ найти явную формулу для интерполяционного многочлена.

10 сентября 2018

Метод Крамера решения квадратных СЛУ малых размеров (2×2 и 3×3). Определители 2-го и 3-го порядка.

Домашнее задание:
  • 8.6вд, 8.2е, 9.1гд, 9.2ж, 16.1б.

12 сентября 2018

Линейная зависимость, базис системы векторов, координаты вектора в базисе. Стандартный базис в R^n. Когда система векторов обладает единственным базисом? Ранг системы векторов и размерность пространства. Алгоритм нахождения базиса конечной системы векторов в R^n.

Домашнее задание:
  • 6.4, 6.13, 6.14, 6.12вги, 7.19★.

19 сентября 2018

Вычисление ранга матрицы. Фундаментальная система решений ОСЛУ.

Домашнее задание:
  • 7.1дл, 7.2аз, 7.5, 7.7, 7.10, 8.4вг, 8.25★.

24 сентября 2018

Арифметические операции над матрицами (сложение матриц, умножение матриц на числа, умножение матриц), их свойства, некоммутативность умножения матриц, делители нуля и нильпотентные матрицы, нильпотентность нильтреугольных матриц.

Домашнее задание:
  • 17.1бв, 17.4ав, 17.25, 19.26, 19.15, 19.18, 17.26★.

26 сентября 2018

Умножение на диагональные матрицы и матричные единицы. Квадратные матрицы, коммутирующие со всеми матрицами того же размера, скалярны. Единичная матрица. Обратная матрица. Если матрица A нильпотентна, то матрицы E+A и E-A обратимы. Нахождение обратной матрицы сводится к решению матричных уравнений вида AX=B, алгоритм их решения.

Домашнее задание:
  • 17.17, 18.3взи, 18.17★, 19.14, 19.21.

3 октября 2018

Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Матрица, обратная к транспонированной. Элементарные матрицы, умножение на них слева и справа.

Умножение подстановок. Разложение подстановки на независимые циклы, применение к возведению подстановок в степень. Решение уравнений в подстановках.

Домашнее задание:
  • 18.9кл, 19.3аг, 3.1вг, 3.2аге, 3.13;
  • как изменится A^{-1}, если матрицу A подвергнуть одному из следующих преобразований:
    • записать её строки в обратном порядке;
    • транспонировать относительно побочной диагонали;
    • повернуть на 90º против часовой стрелки?
  • решить уравнения в подстановках:
  • (задача о квартирном обмене) Несколько семей хотят обменяться квартирами. За один день каждая семья может принять участие не более чем в одном обмене квартирами с какой-нибудь другой семьей. Доказать, что любой сложный обмен можно осуществить не более чем за два дня.

8 октября 2018

Чётность и знак перестановок и подстановок. Знак цикла. Задача про «пятнашки»: можно ли, последовательно передвигая фишки на соседнее свободное место, поменять местами фишки 14 и 15, оставив остальные фишки на месте? Можно ли, вращая слои куба Рубика на шарнирах, добиться того, чтобы угловые кубики одной из граней переставились по кругу, а остальные кубики остались на своих местах (возможно, повернувшись)?

Определители квадратных матриц, их вычисление по развёрнутой формуле.

Домашнее задание:
  • 3.6бвж, 3.11, 3.22, 10.4б, 16.2, 11.1, 11.4;
  • можно ли, вращая слои куба Рубика на шарнирах, добиться того, чтобы один из боковых кубиков в нём перевернулся, а остальные остались на своих местах, не изменив положения?

10 октября 2018

Поведение определителя при различных преобразованиях матрицы. Вычисление определителей приведением к треугольному виду и приведением к определителю Вандермонда.

Домашнее задание:
  • 13.1бвж, 13.2ежз, 14.1зкм★н.

17 октября 2018

Определитель произведения матриц. Разложение определителя по строке и по столбцу.

Домашнее задание:
  • 12.2, 12.3дези, 15.2бв, 16.19.

22 октября 2018

Вычисление определителей с помощью рекуррентных соотношений. Трёхдиагональные определители и линейные однородные рекуррентные уравнения 2-го порядка.

Домашнее задание:
  • 14.1гдео, 12.4, 4.5, 16.3, 11.10е;
  • вычислить определитель:

24 октября 2018

31 октября 2018

Ранг произведения матриц, случай невырожденности одного из сомножителей. Ранг и определитель присоединённой матрицы. Явная формула для обратной матрицы.

Домашнее задание:
  • 7.11, 16.4б, 18.8гкл.

7 ноября 2018

Контрольная работа
  1. Решение СЛУ в зависимости от параметра.
  2. Нахождение ФСР и размерности пространства решений ОСЛУ (1 вариант); нахождение базиса системы векторов и выражение через него остальных векторов системы (2 вариант).
  3. Нахождение обратной матрицы (1 вариант); решение матричного уравнения (2 вариант).
  4. Вычисление определителя размера 4×4.
  5. Вычисление определителя размера n×n.
  6. Решение уравнения в подстановках (1 вариант); вычисление трёхдиагонального определителя (2 вариант).

14 ноября 2018

Кольца и поля вычетов. Решение СЛУ и квадратных уравнений над полями вычетов. Использование колец вычетов для решения диофантовых уравнений (примеры: 23x-17y=5, 3x²+2=y², 7x²+2=y³). Малая теорема Ферма. Обратимые элементы кольца вычетов, функция Эйлера, теорема Эйлера. Задача: последовательность k_1=2, k_{n+1}=2^{k_n} стабилизируется по модулю 7. Квадратичные вычеты, символ Лежандра.

Домашнее задание:
  • 66.20, 8.10б, 66.24вг, 66.23ав, 66.32;
  • решить диофантовы уравнения: 41x-11y=19, 35x+21y=14, 15x²-7y²=9;
  • доказать, что для любых a∈Z и m∈N последовательность k_1=a, k_{n+1}=a^{k_n} стабилизируется по модулю m;
  • ★ доказать, что символ Лежандра элемента a∈Z_p равен знаку подстановки на множестве Z_p\{0}, задаваемой умножением на a.

19 ноября 2018

Поле комплексных чисел. Вычисления над комплексными числами в алгебраической форме. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, решение алгебраических задач геометрическими методами (пример: уравнение |(z+1-i)/(z-1+i)|=1) и геометрических задач методами алгебры комплексных чисел (пример: доказательство теоремы о том, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон).

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел, формула Муавра, вычисления над комплексными числами в тригонометрической форме. Выражение тригонометрических функций кратных углов через функции исходного угла и степеней тригонометрических функций через функции кратных углов в первой степени с помощью комплексных чисел.

Свойства операции сопряжения. Автоморфизмы полей и их расширений, группы Галуа.

Домашнее задание:
  • 20.1еж, 21.2бж, 21.9аг, 21.10, 21.12, 21.13г;
  • доказать с помощью комплексных чисел теорему Птолемея: произведение диагоналей четырёхугольника, вписанного в окружность, равно сумме произведений его противоположных сторон;
  • найти группы Галуа Gal(C/R) и Gal(R).

21 ноября 2018

Извлечение корней из комплексных чисел. Группа U_n комплексных корней степени n из 1, сумма и произведение всех корней степени n из 1. Вычисление сумм с помощью комплексных чисел.

Домашнее задание:
  • 22.7еипр, 22.8а, 22.9б, 22.17аб, 22.22★, 23.1вг, 23.2бв.

28 ноября 2018

Многочлены от одной переменной над полем K: деление с остатком на линейный двучлен, теорема Безу, схема Горнера. Разложение многочлена по степеням линейного двучлена, значения высших производных и кратность корня многочлена. Наибольший общий делитель (НОД) многочленов и алгоритм Евклида. Линейное выражение НОД через исходные многочлены: (f,g)=uf+vg, его единственность при ограничениях на степени u и v, и его нахождение методом неопределённых коэффициентов.

Домашнее задание:
  • 26.1бв, 26.2бв, 26.3бв, 26.4, 26.7ав, 26.11★, 25.2вг, 25.3б;
  • найти НОД многочленов x^n-1 и x^m-1.

3 декабря 2018

Избавление от кратных множителей в разложении многочлена на неприводимые множители. Разложение многочленов на неприводимые множители над полями C и R.

Домашнее задание:
  • 25.8б, 27.1в, 27.3, 27.4б, 28.8★, 28.9аг★.

12 декабря 2018

Неприводимых многочленов над любым полем бесконечно много. Существование неприводимых многочленов сколь угодно большой степени над конечным полем. «Решето Эратосфена» для нахождения всех неприводимых многочленов степени ≤n над конечным полем. Нахождение всех неприводимых многочленов степени ≤5 над полем Z_2. Рациональные корни многочлена с целыми или рациональными коэффициентами. Разложимость многочлена с целыми коэффициентами на множители меньшей степени в Q[x] равносильна разложимости на множители меньшей степени в Z[x]. Редукция многочленов с целыми коэффициентами по простому модулю, её свойства. Редукционный признак неприводимости. Разложение многочленов на неприводимые множители над Q с помощью редукций.

Домашнее задание:
  • 28.1в, 28.2бв, 28.3, 28.23;
  • найти все неприводимые многочлены степени ≤3 со старшим коэффициентом 1 над полем Z_3;
  • разложить на неприводимые множители над полем Q:
    1. 3x^5-2x^4+5x^3-4x^2-5x-1,
    2. 2x^4-3x^3+5x^2+8x-5,
    3. 3x^4-x^3+5x^2+8x-7.

13 декабря 2018

Признак Эйзенштейна, неприводимость многочлена деления круга на простое число частей.

Рациональные дроби: представление в виде суммы многочлена и правильной дроби, разложение правильной дроби в сумму простейших дробей методом неопределённых коэффициентов, случай полей C и R.

Домашнее задание:
  • 28.9абвде, 29.1бе, 29.2аги, 29.3;
  • ★ доказать, что многочлен x^4-10x^2+1 неприводим над Q, но его редукция по любому простому модулю p приводима над Z_p.

17 декабря 2018

Симметрические многочлены, примеры: степенные суммы s_k и элементарные симметрические многочлены σ_k. Основная теорема о симметрических многочленах, метод неопределённых коэффициентов для нахождения выражения произвольного симметрического многочлена через элементарные. Выражение степенных сумм s_1, s_2, s_3, s_4 через элементарные симметрические многочлены. Решение симметрических систем алгебраических уравнений.

Домашнее задание:
  • 29.2аги, 31.9авер, 31.15, 31.21б, 31.2, 31.5, 31.25.

19 декабря 2018

Контрольная работа
  1. Возведение в степень (1 вариант) и извлечение корней (2 вариант) в поле C.
  2. Нахождение НОД двух многочленов и его линейного выражения через эти многочлены.
  3. Разложение многочлена на неприводимые множители над полем R (1 вариант); разложение многочлена по степеням линейного двучлена, определение кратности корня и вычисление значений высших производных (2 вариант).
  4. Разложение многочлена на неприводимые множители над полем Q.
  5. Разложение рациональной дроби в сумму многочлена и простейших дробей над полем C (1 вариант) и R (2 вариант).
  6. Выражение симметрического многочлена через элементарные симметрические многочлены.