Кафедра высшей алгебры

Преподаватель: Д.А.Тимашёв

Занятия проходят по понедельникам на каждой чётной неделе на 2-й паре (10:45-12:20) в ауд. 12-13 (Главное здание МГУ) и по субботам на 1-й паре (9:00-10:35) в ауд. 454 (2-й учебный корпус).

• 22 декабря 2022, 10:00−14:00, ауд. 12-13
• 24 декабря 2022, 15:00−19:00, ауд. 12-13
• 29 декабря 2022, 15:00−19:00, ауд. 404

• 15 января 2023, 10:00, ауд. 13-11

• 14 января 2023, 18:00, Microsoft Teams

Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★.

Системы линейных уравнений (СЛУ). Метод Крамера решения квадратных СЛУ малых размеров (2×2 и 3×3). Определители 2-го и 3-го порядка.

• 8.6вд, 8.2е, 9.1гд, 9.2ж, 16.1б;
• решить методом Крамера систему линейных уравнений:
• 

Решение СЛУ методом Крамера. Элементарные преобразования СЛУ и их матриц. Метод Гаусса решения СЛУ.

• 8.1вг, 8.2вг, 8.7, 8.8, 16.1а.

Решение СЛУ методом Гаусса. Связь решений совместной СЛУ и ассоциированной однородной системы линейных уравнений (ОСЛУ). Критерии определённости совместной СЛУ и квадратной СЛУ: ассоциированная ОСЛУ должна быть определена. Задача интерполяции, теорема о полиномиальной интерполяции.

• 8.1жз, 8.2дж;
• доказать, что для приведения матрицы к ступенчатному виду достаточно элементарных преобразований 1-го типа;
• доказать, что если ОСЛУ с целыми коэффициентами имеет ненулевое решение, то она имеет ненулевое целочисленное решение;
• ★ найти явную формулу для интерполяционного многочлена.

Арифметическое векторное пространство R^n. Линейная зависимость, базис системы векторов (три эквивалентных определения), координаты вектора в базисе. Стандартный базис в R^n. Алгоритм нахождения базиса конечной системы векторов в R^n.

• 6.4, 6.11, 6.12вги, 6.13, 6.14, 7.19★;
• доказать, что для подсистемы векторов B⊂S следующие условия эквивалентны:
  1. B линейно независима и линейно порождает систему S;
  2. B — минимальная (по включению) порождающая подсистема в S.

Подпространства в векторном пространстве, примеры: линейная оболочка системы векторов, пространство решений ОСЛУ. Фундаментальная система решений ОСЛУ, её нахождение.

• 8.4бвг, 8.25★, 35.9аб, 35.11аб.
• В пространстве R^∞ всех последовательностей действительных чисел рассматривается подмножество U, состоящее из последовательностей a = (a_1, a_2, …), удовлетворяющих рекуррентному уравнению a_(n+m) + c_1·a_(n+m-1) + … + c_m·a_n = 0 (при всех n).
  1. Доказать, что U — подпространство;
  2. найти dim U.

Ранг матрицы, его свойства. Вычисление ранга матрицы.

• 7.1дл, 7.2аз, 7.5, 7.6, 7.7, 7.10.

Алгебраические операции над матрицами, их свойства, нулевая и единичная матрицы. Некоммутативность умножения матриц, делители нуля и нильпотентные матрицы, нильпотентность нильтреугольных матриц. Умножение на диагональные матрицы и на матричные единицы.

• 17.1бв, 17.4ав, 17.13, 17.16, 17.25, 19.3аб, 19.15, 17.26★.

Квадратные матрицы, коммутирующие со всеми матрицами того же размера, скалярны. Обратная матрица. Если матрица A нильпотентна, то матрицы E+A и E-A обратимы. Решение матричных уравнений вида AX=B. Нахождение обратной матрицы.

• 18.3взи, 18.4, 18.5, 18.9дкл, 18.17★, 19.21, 19.27.

Элементарные матрицы, умножение на них слева и справа. Задача: как изменится A^{-1}, если записать строки матрицы A в обратном порядке? Матрица, обратная к транспонированной.

Перестановки и подстановки, их количество. Умножение подстановок. Циклические подстановки, разложение произвольной подстановки на независимые циклы, применение к возведению подстановок в степень.

• 19.3в, 19.4г; 3.1вг, 3.2аге, 3.13;
• как изменится A^{-1}, если матрицу A подвергнуть одному из следующих преобразований:
  • транспонировать относительно побочной диагонали;
  • повернуть на 90º против часовой стрелки?
• решить уравнения в подстановках:
  • 
• (задача о квартирном обмене) Несколько семей хотят обменяться квартирами. За один день каждая семья может принять участие не более чем в одном обмене квартирами с какой-нибудь другой семьей. Доказать, что любой сложный обмен можно осуществить не более чем за два дня.

Чётность и знак перестановок и подстановок. Знак циклической подстановки. Задача про «пятнашки»: можно ли, последовательно передвигая фишки на соседнее свободное место, поменять местами фишки 14 и 15, оставив остальные фишки на месте?

Определители квадратных матриц, их вычисление по развёрнутой формуле.

• 3.6бвж, 3.11, 3.22, 10.4б, 16.2;
• можно ли, вращая слои куба Рубика на шарнирах, добиться того, чтобы угловые кубики одной из граней переставились по кругу, а остальные кубики остались на своих местах (возможно, повернувшись)?

Свойства определителя, его изменение при различных преобразованиях матрицы. Вычисление определителей приведением к треугольному виду. Определитель матрицы с углом нулей. Определитель Вандермонда.

• 11.1гд, 11.4, 13.1бвж, 13.2ежз, 14.1зкм★н.

Разложение определителя по строке и столбцу. Трёхдиагональные определители и линейные однородные рекуррентные уравнения 2-го порядка.

• 12.2, 12.3ези, 14.1где, 12.4, 4.5;
• вычислить определитель:
• 

Определитель произведения матриц. Ранг произведения матриц, случай невырожденности одного из сомножителей. Присоединённая матрица, явная формула для обратной матрицы.

• 7.11, 15.2бвг, 16.4, 16.19, 18.8гкл;
• чему равен ранг присоединённой матрицы, в зависимости от ранга исходной матрицы?

1. Решение СЛУ в зависимости от параметра.
2. Нахождение базиса системы векторов и выражение через него остальных векторов системы (1 вариант); нахождение ФСР и размерности пространства решений ОСЛУ (2 вариант).
3. Решение матричного уравнения (1 вариант); нахождение обратной матрицы (2 вариант).
4. Вычисление определителя размера 4×4.
5. Вычисление определителя размера n×n.
6. Вычисление трёхдиагонального определителя (1 вариант); решение уравнения в подстановках (2 вариант).

Коллоквиум

Вычисления над комплексными числами в алгебраической форме. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, решение алгебраических задач геометрическими методами (пример: уравнение |(z-1+i)/(z+1-i)|=1) и геометрических задач методами алгебры комплексных чисел (пример: доказательство теоремы о том, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон).

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел, вычисления над комплексными числами в тригонометрической форме. Выражение тригонометрических функций кратных углов через функции исходного угла.

• 20.1еж, 21.2бж, 21.9аг, 21.10, 21.12, 21.13в;
• доказать с помощью комплексных чисел теорему Птолемея: произведение диагоналей четырёхугольника, вписанного в окружность, равно сумме произведений его противоположных сторон.

Извлечение корней из комплексных чисел. Корни из 1, сумма и произведение всех корней степени n из 1. Вычисление сумм с помощью комплексных чисел.

• 22.7еипр, 22.8аг, 22.9бв, 22.17аб, 22.22★, 23.1вг, 23.2аг.

Многочлены от одной переменной над полем: деление с остатком, теорема Безу, схема Горнера. Разложение многочлена по степеням линейного двучлена, значения высших производных и кратность корня многочлена, формула Тейлора.

• 25.1б, 26.1бв, 26.2бв, 26.3бв, 26.4, 26.5, 26.7аб, 26.11★.

Наибольший общий делитель (НОД) многочленов и алгоритм Евклида. Линейное выражение НОД через исходные многочлены: (f,g)=uf+vg, его единственность при ограничениях на степени u и v, и его нахождение методом неопределённых коэффициентов.

• 25.2вг, 25.3б, 25.5б, 25.7б;
• найти НОД многочленов x^n-1 и x^m-1.

Избавление от кратных множителей в разложении многочлена на неприводимые множители. Разложение многочленов на неприводимые множители над полями C и R.

• 25.8б, 27.1абд, 27.2бге, 27.3а, 27.6, 27.7, 27.12, 27.14★.

Неприводимых многочленов над любым полем бесконечно много. Существование неприводимых многочленов сколь угодно большой степени над конечным полем. «Решето Эратосфена» для нахождения всех неприводимых многочленов степени ≤n над конечным полем. Нахождение всех неприводимых многочленов степени ≤5 над полем Z_2.

Рациональные корни многочлена с целыми или рациональными коэффициентами. Редукция многочленов с целыми коэффициентами по простому модулю, её свойства. Разложение многочленов на множители над Z с помощью редукций.

• 28.1в, 28.2бвж, 28.3, 28.23;
• найти все неприводимые многочлены степени ≤3 со старшим коэффициентом 1 над полем Z_3;
• найти количество неприводимых многочленов степени 4 со старшим коэффициентом 1 над полем Z_3.
• разложить на множители над Z:
  • 3x^5-2x^4+5x^3-4x^2-5x-1,
  • 2x^4-3x^3+5x^2+8x-5,
  • 3x^4-x^3+5x^2+8x-7;
• ★ доказать, что многочлен x^4-10x^2+1 неприводим над Q, но его редукция по любому простому модулю p приводима над Z_p.

Примитивные многочлены, лемма Гаусса. Разложимость многочлена с целыми коэффициентами на множители меньшей степени в Q[x] равносильна разложимости на множители меньшей степени в Z[x]. Признак Эйзенштейна, неприводимость многочлена деления круга на простое число частей.

Рациональные дроби: представление в виде суммы многочлена и правильной дроби, разложение правильной дроби в сумму простейших дробей методом неопределённых коэффициентов, случай полей C и R.

• 28.9абвде, 29.1бе, 29.2аги, 29.3.

Многочлены от нескольких переменных, степень одночлена и многочлена, однородные компоненты многочлена. Лексикографический порядок на одночленах, старший член многочлена, старший член произведения многочленов. Симметрические многочлены: основная теорема, метод неопределённых коэффициентов для нахождения выражения произвольного симметрического многочлена через элементарные. Выражение степенных сумм s_1, s_2, s_3 через элементарные симметрические многочлены. Теорема Виета. Решение симметрических систем алгебраических уравнений.

• 31.2, 31.5, 31.9авер, 31.15★, 31.21а, 31.25;
• выразить степенную сумму s_4 = (x_1)^2 + (x_2)^2 + … + (x_n)^2 через элементарные симметрические многочлены.

1. Возведение в степень (1 вариант) и извлечение корней (2 вариант) в поле C.
2. Нахождение НОД двух многочленов и его линейного выражения через эти многочлены.
3. Разложение многочлена по степеням линейного двучлена, вычисление значений высших производных (1 вариант) и определение кратности корня (2 вариант).
4. Разложение многочлена на неприводимые множители над полем R (1 вариант) и Q (2 вариант).
5. Разложение рациональной дроби в сумму многочлена и простейших дробей над полем R (1 вариант) и C (2 вариант).
6. Выражение симметрического многочлена через элементарные симметрические многочлены.