Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- семинары_105_группа_осень_2025 [22.09.2025 19:55]
timashev
+++ семинары_105_группа_осень_2025 [28.11.2025 16:35] (текущий)
timashev
@@ Строка 4: / Строка 4: @@
 Занятия проходят **по понедельникам** на **3**-й паре (13:15-14:50) в ауд. **14-03** и **по четвергам** на каждой //чётной// неделе на **1**-й паре (9:00-10:35) в ауд. **12-13**.
+<color #ed1c24>**Объявление:**</color> занятие с понедельника **1 декабря** <color #ed1c24>переносится</color> на субботу **13 декабря**, **1**-я пара (9:00-10:35).
 Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И.Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★.
@@ Строка 49: / Строка 51: @@
 == Домашнее задание: ==
   * 6.12вги, 6.13, 6.14, 7.1дл, 7.3, 7.19★.
+----
+=== 25 сентября 2025 ===
+Вычисление ранга матрицы. Подпространства в векторном пространстве, примеры: линейная оболочка системы векторов, пространство решений ОСЛУ. Фундаментальная система решений ОСЛУ, её нахождение.
+== Домашнее задание: ==
+  * 7.2аж, 7.5,  7.6,  7.7, 7.10, 8.4бвг, 8.25★.
+----
+=== 29 сентября 2025 ===
+Алгебраические операции над матрицами, их свойства, нулевая и единичная матрицы. Некоммутативность умножения матриц, делители нуля и нильпотентные матрицы, нильпотентность нильтреугольных матриц. Умножение на диагональные матрицы.
+== Домашнее задание: ==
+  * 17.1бв, 17.4ав, 17.14, 17.15, 17.25, 19.3аб, 19.4абв, 19.15.
+----
+=== 6 октября 2025 ===
+Матричные единицы, умножение на них слева и справа. Квадратные матрицы, коммутирующие со всеми матрицами того же размера, скалярны. Обратная матрица. Решение матричных уравнений вида AX=B. Нахождение обратной матрицы.
+== Домашнее задание: ==
+  * 17.13, 17.17, 18.3взи, 18.9дкл, 18.17★, 19.14, 19.21;
+  * решить матричное уравнение:
+  * {{:staff:timashev:mat-eq.jpg|}}
+----
+=== 9 октября 2025 ===
+Элементарные матрицы, умножение на них слева и справа. Задача: как изменится A<sup>-1</sup>, если записать строки матрицы A в обратном порядке?
+Перестановки и подстановки, их количество. Двухрядная запись подстановок. Умножение подстановок.
+== Домашнее задание: ==
+  * 19.3в, 3.1вг;
+  * как изменится A<sup>-1</sup>, если матрицу A подвергнуть одному из следующих преобразований:
+      * транспонировать относительно побочной диагонали;
+      * повернуть на 90º против часовой стрелки?
+----
+=== 13 октября 2025 ===
+Циклические подстановки, разложение произвольной подстановки на независимые циклы, применение к возведению подстановок в степень. Решение уравнений в подстановках. Чётность и знак перестановок и подстановок. Знак цикла. Задача про "пятнашки": можно ли, последовательно передвигая фишки на соседнее свободное место, поменять местами фишки 14 и 15, оставив остальные фишки на месте? Можно ли, вращая слои куба Рубика на шарнирах, добиться того, чтобы угловые кубики одной из граней переставились по кругу, а остальные кубики остались на своих местах (возможно, повернувшись)?
+== Домашнее задание: ==
+  * 3.2аге, 3.6бвж, 3.11, 3.13, 3.22;
+  * решить уравнения в подстановках:
+      * {{:staff:timashev:eq-subst.jpg|}}
+  * Можно ли, вращая слои куба Рубика на шарнирах, добиться того, чтобы один из боковых кубиков в нём перевернулся, а остальные остались на своих местах, не изменив положения?
+  * (//Задача о квартирном обмене//) Несколько семей хотят обменяться квартирами. За один день каждая семья может принять участие не более чем в одном обмене квартирами с какой-нибудь другой семьей. Доказать, что любой сложный обмен можно осуществить не более чем за два дня.
+----
+=== 20 октября 2025 ===
+Определители квадратных матриц, их вычисление по развёрнутой формуле. Свойства определителя, его изменение при различных преобразованиях матрицы. Вычисление определителей приведением к треугольному виду.
+== Домашнее задание: ==
+  * 10.4б, 16.2, 11.1гд, 11.4, 13.1бвж.
+----
+=== 23 октября 2025 ===
+Вычисление определителей приведением к треугольному виду. Определитель с углом нулей. Определитель Вандермонда. Определитель произведения матриц.
+== Домашнее задание: ==
+  * 13.2ежз, 14.1зкм★н, 15.2бв, 16.19.
+----
+=== 27 октября 2025 ===
+Разложение определителя по строке и столбцу. Трёхдиагональные определители и линейные однородные рекуррентные уравнения 2-го порядка.
+== Домашнее задание: ==
+  * 12.2, 12.3ези, 14.1где, 12.4, 4.5;
+  * вычислить определитель:
+  * {{:staff:timashev:3-diag.jpg|}}
+----
+=== 1 ноября 2025 ===
+== Контрольная работа ==
+  - Решение СЛУ в зависимости от параметра.
+  - Нахождение ФСР и размерности пространства решений ОСЛУ (//1 вариант//); нахождение базиса системы векторов и выражение через него остальных векторов системы (//2 вариант//).
+  - Решение матричного уравнения (//1 вариант//); нахождение обратной матрицы (//2 вариант//).
+  - Вычисление определителя размера 4×4.
+  - Вычисление определителя размера n×n.
+  - Вычисление трёхдиагонального определителя (//1 вариант//); решение уравнения в подстановках (//2 вариант//).
+----
+=== 6 ноября 2025 ===
+[[https://disk.yandex.ru/i/wy2qk_98eamZPA|Коллоквиум]]
+----
+=== 10 ноября 2025 ===
+Вычисления над комплексными числами в алгебраической форме. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, решение алгебраических задач геометрическими методами (пример: уравнение |(z-1+i)/(z+1-i)|=1) и геометрических задач методами алгебры комплексных чисел (пример: доказательство теоремы о том, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон).
+Тригонометрическая форма записи комплексных чисел, вычисления над комплексными числами в тригонометрической форме. Выражение тригонометрических функций кратных углов через функции исходного угла и степеней тригонометрических функций через функции кратных углов в первой степени с помощью комплексных чисел.
+== Домашнее задание: ==
+  * 20.1еж, 21.2бж, 21.9аг, 21.10, 21.12, 21.13г;
+  * доказать с помощью комплексных чисел //теорему Птолемея//: произведение диагоналей четырёхугольника, вписанного в окружность, равно сумме произведений его противоположных сторон.
+----
+=== 17 ноября 2025 ===
+Извлечение корней из комплексных чисел. Корни из 1, сумма и произведение всех корней степени n из 1. Нахождение cos(2π/5) в алгебраической форме. Вычисление сумм с помощью комплексных чисел.
+== Домашнее задание: ==
+  * 22.7еипр, 22.8г, 22.9бв, 22.17аб, 22.22★, 23.1вг, 23.2аг.
+----
+=== 20 ноября 2025 ===
+Многочлены от одной переменной над полем: деление с остатком, теорема Безу, схема Горнера. Разложение многочлена по степеням линейного двучлена, значения высших производных и кратность корня многочлена, формула Тейлора.
+== Домашнее задание: ==
+  * 25.1б, 26.1бв, 26.2бв, 26.3бв, 26.4, 26.5, 26.7аб, 26.11★.
+----
+=== 24 ноября 2025 ===
+Разложение многочленов на неприводимые множители. Наибольший общий делитель (НОД) многочленов и алгоритм Евклида. Линейное выражение НОД через исходные многочлены: НОД(f,g)=uf+vg, его единственность при ограничениях на степени u и v, и его нахождение методом неопределённых коэффициентов. Избавление от кратных неприводимых множителей в разложении многочлена.
+== Домашнее задание: ==
+  * 25.2вг, 25.3б, 25.5б, 25.7б, 25.8б;
+  * найти НОД многочленов x<sup>m</sup>-1 и x<sup>n</sup>-1.