Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- семинары_105_группа_осень_2025 [07.11.2025 12:58]
timashev
+++ семинары_105_группа_осень_2025 [31.12.2025 01:12] (текущий)
timashev
@@ Строка 4: / Строка 4: @@
 Занятия проходят **по понедельникам** на **3**-й паре (13:15-14:50) в ауд. **14-03** и **по четвергам** на каждой //чётной// неделе на **1**-й паре (9:00-10:35) в ауд. **12-13**.
+== Расписание зачётов: ==
+  * 22 декабря 2025, 9:00−12:00, ауд. 14-04
+  * 26 декабря 2025, 13:00−16:00, ауд. 14-04
+  * 29 декабря 2025, 9:00−12:00, ауд. 14-04
+== Экзамен: ==
+  * 9 января 2026, 10:00, ауд. 16-10
+== Консультация: ==
+  * 8 января 2026, 17:00, ауд. 12-13
 Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И.Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★.
@@ Строка 152: / Строка 164: @@
 [[https://disk.yandex.ru/i/wy2qk_98eamZPA|Коллоквиум]]
+----
+=== 10 ноября 2025 ===
+Вычисления над комплексными числами в алгебраической форме. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, решение алгебраических задач геометрическими методами (пример: уравнение |(z-1+i)/(z+1-i)|=1) и геометрических задач методами алгебры комплексных чисел (пример: доказательство теоремы о том, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон).
+Тригонометрическая форма записи комплексных чисел, вычисления над комплексными числами в тригонометрической форме. Выражение тригонометрических функций кратных углов через функции исходного угла и степеней тригонометрических функций через функции кратных углов в первой степени с помощью комплексных чисел.
+== Домашнее задание: ==
+  * 20.1еж, 21.2бж, 21.9аг, 21.10, 21.12, 21.13г;
+  * доказать с помощью комплексных чисел //теорему Птолемея//: произведение диагоналей четырёхугольника, вписанного в окружность, равно сумме произведений его противоположных сторон.
+----
+=== 17 ноября 2025 ===
+Извлечение корней из комплексных чисел. Корни из 1, сумма и произведение всех корней степени n из 1. Нахождение cos(2π/5) в алгебраической форме. Вычисление сумм с помощью комплексных чисел.
+== Домашнее задание: ==
+  * 22.7еипр, 22.8г, 22.9бв, 22.17аб, 22.22★, 23.1вг, 23.2аг.
+----
+=== 20 ноября 2025 ===
+Многочлены от одной переменной над полем: деление с остатком, теорема Безу, схема Горнера. Разложение многочлена по степеням линейного двучлена, значения высших производных и кратность корня многочлена, формула Тейлора.
+== Домашнее задание: ==
+  * 25.1б, 26.1бв, 26.2бв, 26.3бв, 26.4, 26.5, 26.7аб, 26.11★.
+----
+=== 24 ноября 2025 ===
+Разложение многочленов на неприводимые множители. Наибольший общий делитель (НОД) многочленов и алгоритм Евклида. Линейное выражение НОД через исходные многочлены: НОД(f,g)=uf+vg, его единственность при ограничениях на степени u и v, и его нахождение методом неопределённых коэффициентов. Избавление от кратных неприводимых множителей в разложении многочлена.
+== Домашнее задание: ==
+  * 25.2вг, 25.3б, 25.5б, 25.7б, 25.8б;
+  * найти НОД многочленов x<sup>m</sup>-1 и x<sup>n</sup>-1.
+----
+=== 4 декабря 2025 ===
+Разложение многочленов на неприводимые множители над полями **C** и **R**. Неприводимых многочленов над любым полем бесконечно много. Существование неприводимых многочленов сколь угодно большой степени над конечным полем. «Решето Эратосфена» для нахождения всех неприводимых многочленов степени ≤n над конечным полем. Нахождение всех неприводимых многочленов степени ≤4 над полем **Z**<sub>2</sub>.
+== Домашнее задание: ==
+  * 27.1ад, 27.2бгде, 27.6, 27.7, 27.12, 27.14★;
+  * найти все неприводимые многочлены степени 5 над полем **Z**<sub>2</sub>;
+  * найти все неприводимые многочлены степени ≤3 со старшим коэффициентом 1 над полем **Z**<sub>3</sub>;
+  * найти количество неприводимых многочленов степени 4 со старшим коэффициентом 1 над полем **Z**<sub>3</sub>.
+----
+=== 8 декабря 2025 ===
+Над полем **Q** существуют неприводимые многочлены любой степени. Рациональные корни многочлена с целыми или рациональными коэффициентами. Редукция многочленов с целыми коэффициентами по простому модулю, её свойства. Примитивные многочлены, лемма Гаусса. Разложимость многочлена с целыми коэффициентами на множители меньшей степени в **Q**[x] равносильна разложимости на множители меньшей степени в **Z**[x]. Разложение многочленов на множители над **Q** с помощью редукций, редукционный признак неприводимости. Признак Эйзенштейна.
+== Домашнее задание: ==
+  * 28.1в, 28.2бвж, 28.3, 28.9авгде;
+  * разложить на неприводимые множители над **Q**:
+    * 3x<sup>5</sup>-2x<sup>4</sup>+5x<sup>3</sup>-4x<sup>2</sup>-5x-1,
+    * 2x<sup>4</sup>-3x<sup>3</sup>+5x<sup>2</sup>+8x-5,
+    * 3x<sup>4</sup>-x<sup>3</sup>+5x<sup>2</sup>+8x-7;
+  *★ доказать, что многочлен x<sup>4</sup>-10x<sup>2</sup>+1 неприводим над **Q**, но его редукция по любому простому модулю p приводима над **Z**<sub>p</sub>.
+----
+=== 13 декабря 2025 ===
+Многочлены от нескольких переменных, степень одночлена и многочлена, однородные компоненты многочлена. Лексикографический порядок на одночленах, старший член многочлена, старший член произведения многочленов. Симметрические многочлены: основная теорема, метод неопределённых коэффициентов для нахождения выражения произвольного симметрического многочлена через элементарные. Выражение степенных сумм s<sub>1</sub>, s<sub>2</sub>, s<sub>3</sub> через элементарные симметрические многочлены.
+== Домашнее задание: ==
+  * 31.9авер, 31.15★.
+  * выразить s<sub>4</sub>=x<sub>1</sub><sup>4</sup>+x<sub>2</sub><sup>4</sup>+…+x<sub>n</sub><sup>4</sup> через элементарные симметрические многочлены.
+----
+=== 15 декабря 2025 ===
+Теорема Виета. Решение симметрических систем алгебраических уравнений. Рациональные дроби: представление в виде суммы многочлена и правильной дроби, разложение правильной дроби в сумму простейших дробей методом неопределённых коэффициентов, случай полей **C** и **R**.
+== Домашнее задание: ==
+  * 31.2а, 31.3б, 31.6, 31.21б, 31.25, 29.1бе, 29.2аги, 29.3.
+----
+=== 18 декабря 2025 ===
+== Контрольная работа ==
+  - Возведение в степень (//1 вариант//) и извлечение корней (//2 вариант//) в поле **C**.
+  - Нахождение НОД двух многочленов и его линейного выражения через эти многочлены.
+  - Разложение многочлена на неприводимые множители над полем  **R** (//1 вариант//); разложение многочлена по степеням линейного двучлена, определение кратности корня и вычисление значений высших производных (//2 вариант//).
+  - Разложение многочлена на неприводимые множители над полем  **Q**.
+  - Разложение рациональной дроби в сумму многочлена и простейших дробей над полем **C** (//1 вариант//) и **R** (//2 вариант//).
+  - Выражение симметрического многочлена через элементарные симметрические многочлены.