Семинары по алгебре группы 107, осень 2022
Преподаватель: Куликова О.В.
Семинары проходят по понедельникам четных недель в 10:45 в ауд.13-03 и вторникам в 10:45 в ауд. 13-03
Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, 2-е изд., Москва, Физматлит, 2015.
Темы задач на зачете (расшифровка таблицы):
1) Неоднородные СЛАУ
2) Однородные СЛАУ
3) Операции над матрицами
4) Обратные матрицы
5) Линейная зависимость системы векторов
6) Определители
7) Ранг матрицы
8) Возведение в степень, извлечение корней из комплексных чисел
9) Определение группы
10) Правило Крамера
11) Нахождение НОД двух многочленов и выражения НОД через эти многочлены
12) Разложение на неприводимые множители над полем вещественных чисел
13) Разложение на неприводимые множители над полем комплексных чисел
14) Нахождение рациональных корней над полем рациональных чисел, проверка неприводимости.
15) Разложение правильной дроби в сумму простейших над полем вещественных чисел
16) Разложение правильной дроби в сумму простейших над полем комплексных чисел
17) Представление симметрического многочлена в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов. Формулы Виета. Нахождение значения симметрического многочлена от корней заданного многочлена.
18) Подстановки. Операции над подстановками. Разложение на независимые циклы, транспозиции. Возведение в степень
19) Определение четности подстановки.
20) Кратность корней многочлена
21) Определение кольца.
Занятие №1 (5 сентября 2022)
Определители 2-го и 3-го порядка. Свойства. Разложение по строке (по столбцу).
Домашнее задание: 9.1 (в,г, д), 9.2 (б,в,д,е), 11.5, 12.1, 16.1 (б)
Занятие №2 (6 сентября 2022)
1) Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Расширенная матрица. Лидер строки. Ступенчатый и улучшенный ступенчатый вид. Метод Гаусса.
2) Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Правило Крамера.
Домашнее задание: 1) 8.1 (б,в,г), 8.2 (в,г,з,е), 2) 8.6 (б,в,г)
Занятие №3 (13 сентября 2022)
Векторное пространство (вещественное). Линейная комбинация. Линейная зависимость систем векторов. Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем. Критерий линейной зависимости. Основная лемма о линейной зависимости.
Домашнее задание: 6.2 (б), 6.3 (б,д), 6.4, 6.7 (б,д), 6.8, 6.9 (б,д)
Занятие №4 (19 сентября)
Векторное подпространство. Линейная оболочка. База и ранг системы векторов. Алгоритм нахождения базиса и ранга конечной системы векторов и линейных выражений всех векторов системы через найденный базис. Алгоритм нахождения базиса и размерности линейной оболочки.
Домашнее задание: 6.11, 6.12 (б,г,д), 6.10 (б,д), 6.13, 35.11
Занятие №5 (20 сентября)
Ранг матрицы=ранг строк=ранг столбцов. Метод элементарных преобразований.
Домашнее задание: 7.1 б, к, л (только ЭП), 7.2 д, е, з, ж, 7.3, 7.5
Занятие №6 (27 сентября)
Критерий Кронекера-Капелли. Критерий определенности. Однородные СЛАУ. ФСР
Операции над матрицами (сложение, умножение на число, умножение).
Домашнее задание: 8.4 в,г; 7.19, 8.25
17.1 (б,в), 17.2 (а), 17.3 (в), 17.4, 17.5 (а)
Занятие №7 (3 октября)
Матричные единицы.
Занятие №8 (4 октября)
Ранг и операции над матрицами.
Обратные матрицы.
Занятие №9 (11 октября)
Перестановки. Четность.
Определители (определение, свойства).
Занятие №10 (17 октября)
Определители (разложение по строке или столбцу, рекуррентные соотношения).
Занятие №11 (18 октября)
Определитель от произведения матриц.
Метод присоединенной матрицы для нахождения обратной матрицы.
Матричные уравнения.
Метод окаймляющих миноров для нахождения ранга матрицы.
Занятие №12 (25 октября вт)
1) Бинарная операция. Ассоциативность, коммутативность, нейтральный элемент, обратный элемент.
2) Определение группы (группоид, полугруппа, моноид)
Домашнее задание:
1) 54.1 (а,б,в), 54.3
2) 55.1 (д, е), 55.3, 55.6 (а-с)
Занятие №13 (31 октября пн)
Коллоквиум
Занятие №13 (1 ноября вт)
КР1
Занятие №14 (8 ноября вт)
Постановки (без четности)
Занятие №15 (14 ноября пн)
Подстановки (четность)
Комплексные числа.
Занятие №16 (15 ноября вт)
Определение кольца и поля.
Домашнее задание: 63.1 (л,м,з,к), 63.2 (а-г), 63.3 (а,б), 63.7+63.8 (для указанных пунктов), 63.10, 63.13, 8.10
+ДЗ на четность подстановок
Занятие №17 (22 ноября вт)
Корни многочленов. Схема Горнера. Кратность корней
Занятие №18 (28 ноября пн)
Неприводимые многочлены.
Занятие №19 (29 ноября вт)
Алгоритм Евклида. Избавление от кратных множителей.
Домашнее задание:
25.3 б, 25.7 б, 25.8 а
Занятие №20 (6 декабря вт)
Рациональные функции
Занятие №21 (12 декабря пн)
Симметрические многочлены
Занятие №22 (13 декабря вт)
1) Формулы Виета
2) …