| Предыдущая версия справа и слева
Предыдущая версия
Следующая версия
|
Предыдущая версия
|
семинары_108_группа_весна_2017 [19.04.2017 14:28]
timashev |
семинары_108_группа_весна_2017 [08.04.2025 16:43] (текущий)
|
| {{:staff:timashev:ort.jpg|}}====Семинары, 108 группа==== | ====Семинары, 108 группа==== |
| **Преподаватель:** [[staff:timashev|Д.А.Тимашёв]] | **Преподаватель:** [[staff:timashev|Д.А.Тимашёв]] |
| |
| == Домашнее задание: == | == Домашнее задание: == |
| * 40.15ге, 40.11★, 40.5, 40.7, 40.9, 40.16авг; | * 40.15ге, 40.11★, 40.5, 40.7, 40.9, 40.16авг; |
| * Задать системой однородных линейных уравнений сумму подпространств U+W в 4-мерном пространстве V при условии, что подпространства U и W заданы с помощью ОСЛУ: | * задать системой однородных линейных уравнений сумму подпространств U+W в 4-мерном пространстве V при условии, что подпространства U и W заданы с помощью ОСЛУ: |
| * {{:staff:timashev:sub1.jpg|}} {{:staff:timashev:sub2.jpg|}} | * {{:staff:timashev:sub1.jpg|}} {{:staff:timashev:sub2.jpg|}} |
| |
| === 22 марта 2017 === | === 22 марта 2017 === |
| |
| Аналитические функции от линейных операторов и матриц, их вычисление. Билинейные функции, их запись в координатах (билинейные формы). Матрица билинейной функции, её преобразование при замене базиса. | Аналитические функции от линейных операторов и матриц, их вычисление. |
| | |
| | Билинейные функции, их запись в координатах (билинейные формы). Матрица билинейной функции, её преобразование при замене базиса. |
| |
| == Домашнее задание: == | == Домашнее задание: == |
| === 14 апреля 2017 === | === 14 апреля 2017 === |
| |
| Угол между вектором и подпространством. Ортогональные операторы и их матрицы, примеры: поворот плоскости, отражение относительно подпространства. Свойства ортогональных операторов: сохранение длин, расстояний, углов. Всякая линейная изометрия евклидова пространства — ортогональный оператор. Собственные значения ортогонального оператора, ортогональность собственных подпространств. Инвариантность ортогонального дополнения к инвариантному подпространству относительно ортогонального оператора. Канонический вид матрицы ортогонального оператора, его нахождение. Лемма о существовании инвариантного подпространства размерности ≤2 для линейного оператора над **R**. | Угол между вектором и подпространством. |
| | |
| | Ортогональные операторы и их матрицы, примеры: поворот плоскости, отражение относительно подпространства. Свойства ортогональных операторов: сохранение длин, расстояний, углов. Всякая линейная изометрия евклидова пространства — ортогональный оператор. Собственные значения ортогонального оператора, ортогональность собственных подпространств. Инвариантность ортогонального дополнения к инвариантному подпространству относительно ортогонального оператора. Канонический вид матрицы ортогонального оператора, его нахождение. Лемма о существовании инвариантного подпространства размерности ≤2 для линейного оператора над **R**. |
| | |
| == Домашнее задание: == | == Домашнее задание: == |
| === 19 апреля 2017 === | === 19 апреля 2017 === |
| |
| Примеры приведения ортогональных операторов к каноническому виду. Эйлеровы углы ортогонального оператора с определителем 1 в 3-мерном пространстве. Комплексификация вещественных векторных пространств и линейных операторов, нахождение 2-мерного инвариантного подпространства. | Примеры приведения ортогональных операторов к каноническому виду. Эйлеровы углы ортогонального оператора с определителем 1 в 3-мерном пространстве. |
| | |
| | Комплексификация вещественных векторных пространств и линейных операторов, нахождение 2-мерного инвариантного подпространства. |
| | |
| == Домашнее задание: == | == Домашнее задание: == |
| * привести к каноническому виду ортогональный оператор с матрицей | * привести к каноническому виду ортогональный оператор с матрицей |
| * {{:staff:timashev:ort.jpg|}} | * {{:staff:timashev:ort.jpg|}} |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 21 апреля 2017 === |
| | |
| | Соответствие между линейными операторами и билинейными функциями в евклидовом пространстве. Сопряжённый оператор, его матрица. Подпространство U инвариантно относительно оператора A ⇒ ортогональное дополнение к U инвариантно относительно сопряжённого оператора A*. Оператор A ортогонален ⇔ A* обратен к A. |
| | |
| | Симметрические (самосопряжённые) операторы, их матрицы. Наличие собственного вектора и ортогональность собственных подпространств симметрического оператора. Канонический вид матрицы симметрического оператора, его нахождение. Приведение симметрических билинейных и квадратичных функций к главным осям. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 44.1бвгде, 44.2, 44.5, 44.7, 45.4гж, 45.19деи, 45.18. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 26 апреля 2017 === |
| | |
| | Неотрицательные и положительно определённые симметрические операторы, пример: A*·A, где A — произвольный оператор в евклидовом пространстве. Критерий неотрицательности и положительной определённости симметрического оператора в терминах собственных значений. Извлечение квадратного корня из неотрицательного и положительно определённого оператора. Полярное разложение невырожденного линейного оператора в евклидовом пространстве. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 45.12, 45.14, 45.15, 45.16бв; |
| | * ★ у любого линейного оператора A (возможно, вырожденного) существует (не обязательно единственное) полярное разложение в виде A=U·R, где U — ортогональный, а R — неотрицательный симметрический оператор; |
| | * всякая невырожденная вещественная матрица A представляется в виде A=U·D·V, где U и V — ортогональные матрицы, а D — диагональная матрица. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 28 апреля 2017 === |
| | |
| | Аффинные пространства. Векторизация, барицентрические комбинации точек. Координаты в аффинном пространстве, замена координат. Аффинные подпространства (плоскости), способы их задания (опорная точка + направляющее подпространство, параметрический способ, аффинная оболочка, система линейных уравнений). Взаимное расположение плоскостей в аффинном пространстве, размерность аффинной оболочки их объединения и их пересечения, степень параллельности. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 49.2, 49.23, 49.10б, 49.16ав, 49.20а, 49.12. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 3 мая 2017 === |
| | |
| | Задача: провести через точку прямую, пересекающую две плоскости. Евклидовы аффинные пространства: расстояние между точками, задача: может ли данная матрица быть матрицей расстояний между точками. Расстояние от точки до плоскости и между плоскостями в евклидовом аффинном пространстве. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 49.20б, 51.7в, 51.6а, 51.8, 51.14б, 51.15. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 5 мая 2017 === |
| | |
| | Аффинные отображения и преобразования аффинных пространств, достаточные условия наличия неподвижных точек. Движения евклидовых пространств, вектор скольжения. Классификация движений в размерностях 2 и 3, задача на геометрическое описание движения 2-мерной плоскости. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 49.27, 49.28, 51.19б, 51.20, 51.21, 51.23аб, 51.24а. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 10 мая 2017 === |
| | |
| | Задача на геометрическое описание движения 3-мерного пространства. |
| | |
| | Квадратичные функции на аффинном пространстве, их координатная запись, расширенная матрица квадратичной функции. Квадратичные гиперповерхности (квадрики). Приведение квадратичной функции (квадрики) к каноническому или к нормальному виду и к главным осям. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 51.23д, 51.24вг, 52.4, 52.20аб, 52.22суф, 52.16, 52.17, 52.19а. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 12 мая 2017 === |
| | |
| | Различные типы квадрик: центральные и нецентральные, конические и неконические, цилиндрические, невырожденные. Центр квадратичной функции (квадрики), его нахождение. |
| | |
| | Тензоры, примеры: тензоры малых валентностей, det. Операции над тензорами: сложение, умножение на скаляры, тензорное умножение. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 52.6вг, 52.21абв, 47.3б, 47.2. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 17 мая 2017 === |
| | |
| | Компоненты тензора, тензорный базис, правило Эйнштейна. Операции над тензорами в координатах, разложимые тензоры. Преобразование компонент тензора при замене координат. Свёртка. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 47.7бв, 47.4, 47.1вг, 47.13; |
| | * ★ тензор det нельзя разложить в произведение тензоров меньших валентностей. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 19 мая 2017 === |
| | |
| | Выражение различных операций линейной алгебры в терминах тензорного произведения и свёртки. Ковариантные и контравариантные тензоры, симметрические и кососимметрические тензоры, симметризация и альтернирование. Внешнее умножение |
| | внешних форм, его свойства, связь с определителями. Базис и размерность пространства внешних форм. Канонический вид кососимметрической билинейной функции, приведение к каноническому виду с помощью внешнего умножения (аналог метода Лагранжа). |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 47.9, 47.14б, 37.33вг, 48.14, 48.16. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 24 мая 2017 === |
| | |
| | == Контрольная работа == |
| | |
| | - Ортогонализация системы векторов (//1 вариант//); вычисление объёма параллелепипеда (//2 вариант//). |
| | - Нахождение угла между вектором и подпространством (//1 вариант//); вычисление расстояния от точки до плоскости (//2 вариант//). |
| | - Приведение симметрической билинейной формы (//1 вариант//) и квадратичной формы (//2 вариант//) к главным осям. |
| | - Определение типа движения плоскости (//1 вариант//) и пространства (//2 вариант//) и его полное геометрическое описание. |
| | - Полярное разложение невырожденного линейного оператора. |
| |
