Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- семинары_108_группа_весна_2018 [11.04.2018 17:16]
timashev
+++ семинары_108_группа_весна_2018 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 173: / Строка 173: @@
 == Домашнее задание: ==
   * 43.45а (при n=3, ★ при любом n), 43.36а (вычислить объём двумя способами), 43.37, 43.21б, 43.24.
+----
+=== 13 апреля 2018 ===
+Угол между векторами, линейная независимость системы векторов с попарными углами π/3. Угол между вектором и подпространством.
+Ортогональные операторы и их матрицы, примеры: поворот плоскости и пространства, отражение относительно подпространства. Свойства ортогональных операторов: сохранение длин, расстояний. Всякая линейная изометрия евклидова пространства — ортогональный оператор.
+== Домашнее задание: ==
+  * 43.38б, 43.40, 43.41, 46.4, 46.12, 46.14;
+  * ★ всякая изометрия евклидова пространства является композицией ортогонального оператора и сдвига.
+----
+=== 18 апреля 2018 ===
+Свойства ортогональных операторов: сохранение углов, возможные собственные значения, ортогональность собственных подпространств, инвариантность ортогонального дополнения к инвариантному подпространству. Канонический вид матрицы ортогонального оператора, его нахождение. Комплексификация вещественных векторных пространств и линейных операторов, нахождение 2-мерного инвариантного подпространства для линейного оператора над **R**, не имеющего собственных векторов.
+== Домашнее задание: ==
+  * 46.6агж, 46.14;
+  * привести к каноническому виду ортогональный оператор с матрицей
+  * {{:staff:timashev:ort.jpg|}}
+----
+=== 20 апреля 2018 ===
+Соответствие между линейными операторами и билинейными функциями в евклидовом пространстве. Сопряжённый оператор, его матрица. Подпространство U инвариантно относительно оператора A ⇒ ортогональное дополнение к U инвариантно относительно сопряжённого оператора A*. Оператор A ортогонален ⇔ A* обратен к A.
+Симметрические (самосопряжённые) и кососимметрические операторы. Наличие собственного вектора и ортогональность собственных подпространств симметрического оператора. Канонический вид матрицы симметрического оператора, его нахождение. Приведение симметрических билинейных и квадратичных функций к главным осям.
+== Домашнее задание: ==
+  * 44.1бвгде, 44.2, 44.5, 44.7, 45.4гж, 45.18, 45.19деи.
+----
+=== 25 апреля 2018 ===
+Неотрицательные и положительно определённые симметрические операторы, пример: A*·A, где A — произвольный оператор в евклидовом пространстве. Критерий неотрицательности и положительной определённости симметрического оператора в терминах собственных значений. Извлечение квадратного корня из неотрицательного и положительно определённого оператора. Полярное разложение невырожденного линейного оператора в евклидовом пространстве.
+== Домашнее задание: ==
+  * 45.12, 45.14, 45.15, 45.16бв;
+  * всякая невырожденная вещественная матрица A представляется в виде A=U·D·V, где U и V — ортогональные матрицы, а D — диагональная матрица;
+  * ★ у любого линейного оператора A (возможно, вырожденного) существуют (не обязательно единственные) полярные разложения в виде A=U·R=S·V, где U,V — ортогональные, а R,S — неотрицательные симметрические операторы.
+----
+=== 27 апреля 2018 ===
+Аффинные пространства. Векторизация. Координаты в аффинном пространстве, замена координат. Плоскости в аффинном пространстве, способы их задания (опорная точка + направляющее подпространство, параметрический способ, аффинная оболочка, система линейных уравнений). Взаимное расположение плоскостей в аффинном пространстве, размерность аффинной оболочки их объединения и их пересечения, степень параллельности.
+== Домашнее задание: ==
+  * 49.3, 49.10б, 49.12, 49.16ав, 49.20а.
+----
+=== 4 мая 2018 ===
+Задача: провести через точку прямую, пересекающую две плоскости. Евклидовы аффинные пространства: расстояние между точками, задача: может ли данная матрица быть матрицей расстояний между точками. Расстояние от точки до плоскости и между плоскостями в евклидовом аффинном пространстве.
+== Домашнее задание: ==
+  * 49.20бв, 51.2аг, 51.6а, 51.7в, 51.8, 51.14б, 51.15.
+----
+=== 11 мая 2018 ===
+Аффинные отображения, достаточное условие наличия неподвижных точек. Движения  евклидовых пространств, вектор скольжения. Классификация движений в размерностях 2 и 3, задача на геометрическое описание движения 2-мерной плоскости.
+== Домашнее задание: ==
+  * 49.27а, 49.28, 51.19, 51.20, 51.21, 51.23аб, 51.24авг.
+----
+=== 16 мая 2018 ===
+Задача на геометрическое описание движения 3-мерного пространства.
+Квадратичные функции на аффинном пространстве, их координатная запись, расширенная матрица квадратичной функции. Квадратичные гиперповерхности (квадрики). Приведение квадратичной функции (квадрики) к каноническому или к нормальному виду и к главным осям. Различные типы квадрик (центральные и нецентральные, конические и неконические). Центр квадратичной функции (квадрики), его нахождение.
+== Домашнее задание: ==
+  * 52.4, 52.6авг, 52.16, 52.17, 52.19а, 52.20б, 52.21бв, 52.22суф.
+----
+=== 18 мая 2018 ===
+Тензоры, примеры: тензоры малых валентностей, det. Операции над тензорами: сложение, умножение на скаляры, тензорное умножение. Компоненты тензора, тензорный базис, правило Эйнштейна. Операции над тензорами в координатах, разложимые тензоры. Преобразование компонент тензора при замене координат.
+== Домашнее задание: ==
+  * 47.1бв, 47.2, 47.3б, 47.4, 47.7ав;
+  * ★ тензор det нельзя разложить в произведение тензоров меньших валентностей.
+----
+=== 23 мая 2018 ===
+Свёртка тензора. Выражение различных операций линейной алгебры в терминах тензорного произведения и свёртки. Ковариантные и контравариантные тензоры, симметрические и кососимметрические тензоры, симметризация и альтернирование. Внешнее умножение внешних форм, его свойства, связь с определителями. Базис и размерность пространства внешних форм. Канонический вид кососимметрической билинейной функции, приведение к каноническому виду с помощью внешнего умножения (аналог метода Лагранжа).
+== Домашнее задание: ==
+  * 47.9, 47.13б, 47.14, 48.14, 48.16, 37.33вг.
+----
+=== 25 мая 2017 ===
+== Контрольная работа ==
+  - Ортогонализация системы векторов (//1 вариант//); вычисление объёма параллелепипеда (//2 вариант//).
+  - Нахождение угла между вектором и подпространством (//1 вариант//); вычисление расстояния от точки до плоскости (//2 вариант//).
+  - Приведение симметрической билинейной формы (//1 вариант//) и квадратичной формы (//2 вариант//) к главным осям.
+  - Определение типа движения плоскости (//1 вариант//) и пространства (//2 вариант//) и его полное геометрическое описание.
+  - Полярное разложение невырожденного линейного оператора.