Преподаватель: Д.А.Тимашёв

Занятия проходят по средам и пятницам на 2-й паре (10:45-12:20) в ауд. 463.

Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, 3-е изд., Москва, Физматлит, 2001. Дополнительные задачи помечены знаком ★.

Векторные пространства: простейшие следствия из аксиом, примеры (в частности: множество 2^X всех подмножеств множества X как векторное пространство над Z_2, абелеву группу Z нельзя превратить в векторное пространство). Линейные комбинации векторов, линейная зависимость, примеры линейно независимых систем функций.

• 34.3дж, 34.4аб, 34.5, 34.7бг;
• доказать, что множество R^+ положительных чисел с операциями u⊕v = u·v (u,v∈R^+) и λ⊗v = v^λ (λ∈R, v∈R^+) является векторным пространством над полем R.

Базис, размерность, координаты. Матрица перехода к другому базису, её свойства, преобразование координат вектора при замене базиса. Расширения полей как векторные пространства, число элементов конечного поля. Подпространства, примеры.

• 34.8д★з, 34.10ав, 34.11а, 34.12, 35.3вгдеж, 35.10.

Способы задания подпространств (линейная оболочка и однородная система линейных уравнений). Базис, согласованный с подпространством. Пересечение и сумма двух подпространств (объединение — вообще говоря, не подпространство). Базис, согласованный с парой подпространств, формула Грассмана для размерности их суммы (пример: 7-мерное подпространство пространства матриц размера 4×4 содержит ненулевую симметрическую матрицу). Инварианты взаимного расположения пары подпространств, обсуждение инвариантов троек и четвёрок подпространств (в последнем случае дискретных инвариантов недостаточно, пример: двойное отношение четвёрки прямых на плоскости). Прямая сумма подпространств, проекции на прямые слагаемые (пример: разложение пространства квадратных матриц в прямую сумму подпространств симметрических и кососимметрических матриц).

• 35.9, 35.18, 35.22, 35.24, 35.26, 35.27;
• если матрица A размера n×n имеет ранг ≤n/2, то матричное уравнение AX=0 имеет решением ненулевую треугольную матрицу X;
• ★ найти полную систему инвариантов взаимного расположения трёх подпространств в конечномерном векторном пространстве.

Линейные функции на векторном пространстве V, их координатная запись. Ядро линейной функции. Сопряжённое пространство V*, сопряжённый базис. Канонический изоморфизм пространств V и (V*)* в конечномерном случае. Двойственность между векторами и линейными функциями (ковекторами).

Аннулятор подпространства, его размерность. Совпадение второго аннулятора подпространства с этим подпространством в конечномерном случае. Задание подпространства однородной системой линейных уравнений ⇔ нахождение базиса аннулятора подпространства.

• 36.14, 36.18, 36.17, 35.16б, 36.15, 36.20, 35.25.

Критерий базисности набора ковекторов, применение: интерполяционная формула Лагранжа. Нахождение суммы и пересечения подпространств.

Линейные отображения, их матрицы, запись линейного отображения в координатах. Преобразование матрицы линейного отображения при замене базисов.

• 35.15в, 36.2, 36.3;
• доказать что линейные функции β_i(f) = f^(i)(x_0) (i=0,…,n) образуют базис сопряжённого пространства к пространству многочленов степени ≤n над полем характеристики 0, найти двойственный к нему базис и написать разложение произвольного многочлена степени ≤n по этому базису;
• задать системой однородных линейных уравнений сумму подпространств U+W в 4-мерном пространстве V при условии, что подпространства U и W заданы с помощью ОСЛУ:
• 

Ядро и образ линейного отображения. Канонический вид матрицы линейного отображения. Линейные операторы в векторном пространстве, их матрицы. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса.

• 36.8, 39.13, 39.15гли, 39.19.

Инвариантные подпространства линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения. Характеристический многочлен, его коэффициенты. Собственные подпространства, их линейная независимость. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения. Диагонализуемые операторы, эквивалентные условия диагонализуемости.

• 40.5, 40.7, 40.9, 40.11★, 40.15ге, 40.16авг, 40.22, 40.24бвг, 40.33★.

Корневые векторы и корневые подпространства линейного оператора, их инвариантность, размерность и линейная независимость. Нильпотентные операторы: жорданов базис, диаграммы Юнга. Жорданова нормальная форма (ЖНФ) линейного оператора, формулы для количества жордановых клеток с заданным собственным значением (всех и данного размера).

• 41.1агжим, 41.3, 41.5, 41.7, 41.10бвг.

Нахождение ЖНФ и жорданового базиса для линейного оператора. Применения ЖНФ: критерий нильпотентности линейного оператора в терминах собственных значений, нижняя оценка размерности централизатора линейного оператора.

• 41.14★, 41.15, 41.18, 41.20, 41.22, 41.45, 15.3.

Многочлены от линейных операторов и матриц. Аннулирующие многочлены, теорема Гамильтона–Кэли. Минимальный многочлен, его свойства и вычисление. Вычисление многочлена от линейного оператора (матрицы) нахождением остатка при делении на минимальный многочлен. Аналитические функции от линейных операторов и матриц.

• 41.27, 41.32, 42.19бгд, 42.20;
• вычислить экспоненту матрицы
• .

Пример: вычисление экспоненты матрицы.

Билинейные функции, их запись в координатах (билинейные формы). Матрица билинейной функции, её преобразование при замене базиса. Ранг билинейной функции. Классификация билинейных функций ранга ≤1.

• 37.1джмнпсту, 37.2, 37.6, 37.25, 37.28аб.

Дискриминант, невырожденные билинейные функции. Симметрические и кососимметрические билинейные функции, разложение пространства билинейных функций в прямую сумму подпространств симметрических и кососимметрических функций. Квадратичные функции, поляризация. Канонический вид симметрических билинейных и квадратичных функций, методы Лагранжа и Якоби приведения к каноническому виду.

• 37.30а★, 38.3, 38.4, 38.8б, 38.9, 38.16б, 38.18бвгзк, 38.33.

Нормальный вид квадратичных функций над полями C и R, закон инерции. Неотрицательные и положительно определённые квадратичные фукнции, критерий Сильвестра. Геометрический смысл индексов инерции.

• 38.11б, 38.14а, 38.17б, 38.19, 38.21, 38.22а, 38.30.

Коллоквиум

1. Нахождение базиса и системы линейных уравнений для суммы двух подпространств, заданных системами линейных уравнений (1 вариант); нахождение размерности и базиса пересечения двух подпространств, заданных своими базисами (2 вариант).
2. Нахождение собственных векторов и жордановой нормальной формы линейного оператора.
3. Вычисление экспоненты матрицы (1 вариант) и многочлена от матрицы (2 вариант).
4. Приведение симметрической билинейной формы (1 вариант) и квадратичной формы (2 вариант) к каноническому виду.
5. Выяснение положительной определённости квадратичной формы в зависимости от значений параметра (1 вариант); выяснение эквивалентности двух квадратичных форм над полями C и R (2 вариант).