Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- семинары_110_группа_весна_2025 [13.03.2025 18:29]
timashev
+++ семинары_110_группа_весна_2025 [30.04.2025 23:05] (текущий)
timashev
@@ Строка 4: / Строка 4: @@
 Занятия проходят **по понедельникам и четвергам** на **4**-й паре (15:00-16:35) в ауд. **407**.
+<color #ed1c24>**Объявление:**</color> семинары с четвергов <color #ed1c24>1</color> и <color #ed1c24>8 мая</color> переносятся на среды <color #ed1c24>30 апреля</color> и <color #ed1c24>7 мая</color>, **4**-я пара (15:00-16:35), ауд. **14-14**. На неделе с <color #ed1c24>12 по 18 мая</color> семинаров не будет.
 Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И.Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★.
@@ Строка 108: / Строка 110: @@
 == Домашнее задание: ==
   * 41.1аеж (найти жорданов базис), 41.13, 41.14★, 41.15, 41.18, 41.45, 15.3.
+----
+=== 17 марта 2025 ===
+Вычисление циркулянта. Извлечение корней из линейных операторов и матриц.
+== Домашнее задание: ==
+  * 41.21, 41.47;
+  * для каких вырожденных матриц A уравнение X<sup>m</sup> = A имеет решение? Сформулировать ответ в виде условия на ЖНФ матрицы A в зависимости от m.
+----
+=== 20 марта 2025 ===
+Многочлены от линейных операторов и матриц. Аннулирующие многочлены, теорема Гамильтона–Кэли. Минимальный многочлен, его свойства и вычисление. Вычисление многочлена от линейного оператора (матрицы) нахождением остатка при делении на минимальный многочлен. Аналитические функции от линейных операторов и матриц, их вычисление с помощью интерполяционного многочлена.
+== Домашнее задание: ==
+  * 41.22, 41.27, 41.30, 41.33★, 42.19бгд, 42.20;
+  * вычислить E + A<sup>2</sup> - A<sup>3</sup> - A<sup>5</sup>  + A<sup>6</sup> + A<sup>8</sup> - …  + A<sup>48</sup> + A<sup>50</sup>, где A — матрица вида
+  * {{:staff:timashev:f.jpg|}}
+  * вычислить экспоненту матрицы
+  * {{:staff:timashev:so_2_.jpg|}}.
+----
+=== 24 марта 2025 ===
+Билинейные функции, их запись в координатах (билинейные формы). Матрица билинейной функции, её преобразование при замене базиса. Дискриминант, невырожденные билинейные функции. Ранг билинейной функции. Классификация билинейных функций ранга ≤ 1. Симметрические и кососимметрические билинейные функции, разложение пространства билинейных функций в прямую сумму подпространств симметрических и кососимметрических функций.
+== Домашнее задание: ==
+  * 37.1джмопсту + 37.2 (для этих пунктов), 37.6, 37.25, 37.28, 37.30а★, 37.32.
+----
+=== 27 марта 2025 ===
+Квадратичные функции, поляризация. Канонический вид симметрических билинейных и квадратичных функций, метод Лагранжа приведения к каноническому виду.
+== Домашнее задание: ==
+  * 38.15аб, 38.16б, 38.18бвгжк, 38.29, 38.33.
+----
+=== 31 марта 2025 ===
+Метод Якоби приведения квадратичной фукнции к каноническому виду. Нормальный вид симметрических билинейных и квадратичных функций над полями **C** и **R**, закон инерции. Неотрицательные и положительно определённые квадратичные фукнции, критерий Сильвестра. Геометрический смысл индексов инерции.
+== Домашнее задание: ==
+  * 38.8б, 38.9, 38.11ав, 38.14а, 38.17б, 38.19, 38.21, 38.22а, 38.30.
+----
+=== 3 апреля 2025 ===
+{{:staff:timashev:коллоквиум_лаг_2025_и_а_чубаров.pdf|Коллоквиум}}
+----
+=== 7 апреля 2025 ===
+== Контрольная работа ==
+  - Нахождение базиса и системы линейных уравнений для суммы двух подпространств, заданных системами линейных уравнений (//1 вариант//); нахождение размерности и базиса пересечения двух подпространств, заданных своими базисами (//2 вариант//).
+  - Нахождение собственных векторов и жордановой нормальной формы линейного оператора.
+  - Вычисление экспоненты матрицы (//1 вариант//) и многочлена от матрицы (//2 вариант//).
+  - Приведение симметрической билинейной формы (//1 вариант//) и квадратичной формы (//2 вариант//) к каноническому виду.
+  - Выяснение положительной определённости квадратичной формы в зависимости от значений параметра (//1 вариант//); выяснение эквивалентности двух квадратичных форм над полями **C** и **R** (//2 вариант//).
+----
+=== 10 апреля 2025 ===
+Евклидовы векторные пространства. Длина вектора, её свойства. Неравенство Коши–Буняковского. Ортогональность векторов, линейная независимость ортогональной системы ненулевых векторов. Обобщённая теорема Пифагора. Ортогональные и ортонормированные базисы, ортогональные системы координат. Ортогональное дополнение к подпространству, его свойства. Ортогональная проекция и ортогональная составляющая вектора относительно подпространства. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Матрица и определитель Грама, их свойства.
+== Домашнее задание: ==
+  * 43.7аг, 43.11, 43.12, 43.15в, 43.18а, 43.19бв, 43.27.
+----
+=== 14 апреля 2025 ===
+Объём многомерного параллелепипеда в евклидовом пространстве. Вычисление объёма параллелепипеда, натянутого на одночлены 1, x, … , x<sup>n</sup>, в пространстве многочленов со скалярным умножением (f|g)=∫fgdx (интеграл по [-1,1]) при n = 1, 2, 3. Расстояние между векторами в евклидовом пространстве, его свойства. Расстояние между вектором и подпространством.
+== Домашнее задание: ==
+  * 43.45а★, 43.36аб (вычислить объём двумя способами), 43.37, 43.21б, 43.24.
+----
+=== 17 апреля 2025 ===
+Угол между векторами, линейная независимость системы векторов с попарными углами π/3. Угол между вектором и подпространством.
+Ортогональные операторы и их матрицы. Свойства ортогональных операторов: сохранение длин, расстояний, углов, возможные собственные значения, ортогональность собственных подпространств, инвариантность ортогонального дополнения к инвариантному подпространству. Канонический вид матрицы ортогонального оператора.
+== Домашнее задание: ==
+  * 43.38б, 43.40, 43.41, 46.4, 46.12, 46.14.
+----
+=== 21 апреля 2025 ===
+Приведение матрицы ортогонального оператора к каноническому виду. Комплексификация вещественных векторных пространств и линейных операторов. Нахождение 2-мерного инвариантного подпространства для линейного оператора над **R**, не имеющего собственных векторов.
+Соответствие между линейными операторами и билинейными функциями в евклидовом пространстве. Сопряжённый оператор, его матрица. Подпространство U инвариантно относительно оператора A ⇒ ортогональное дополнение к U инвариантно относительно сопряжённого оператора A*. Оператор A ортогонален ⇔ A* обратен к A.
+Симметрические (самосопряжённые) операторы. Наличие собственного вектора и ортогональность собственных подпространств симметрического оператора. Канонический вид матрицы симметрического оператора.
+== Домашнее задание: ==
+  * 46.6агж, 44.1бвгде, 44.2, 44.5, 44.7, 45.4гж;
+  * привести к каноническому виду ортогональный оператор с матрицей
+  * {{:staff:timashev:ort.jpg|}}
+----
+=== 24 апреля 2025 ===
+Приведение симметрических билинейных и квадратичных функций к главным осям. Неотрицательные и положительно определённые симметрические операторы, пример: A*·A, где A — произвольный оператор в евклидовом пространстве. Критерий неотрицательности и положительной определённости симметрического оператора в терминах собственных значений. Извлечение квадратного корня из неотрицательного и положительно определённого оператора. Полярное разложение невырожденного линейного оператора в евклидовом пространстве.
+== Домашнее задание: ==
+  * 45.12, 45.14, 45.15, 45.18, 45.19деи, 46.16бв;
+  * всякая невырожденная вещественная матрица A представляется в виде A=U·D·V, где U и V — ортогональные матрицы, а D — диагональная матрица;
+  * ★ у любого линейного оператора A (возможно, вырожденного) существуют (не обязательно единственные) полярные разложения в виде A=U·R=S·V, где U,V — ортогональные, а R,S — неотрицательные симметрические операторы.
+----
+=== 28 апреля 2025 ===
+Аффинные пространства. Векторизация. Координаты в аффинном пространстве, замена координат. Плоскости в аффинном пространстве, способы их задания (опорная точка + направляющее подпространство, параметрический способ, аффинная оболочка, система линейных уравнений). Взаимное расположение плоскостей в аффинном пространстве, размерность аффинной оболочки их объединения и их пересечения, степень параллельности.
+== Домашнее задание: ==
+  * 49.3, 49.10б, 49.12, 49.16б, 49.20а, 49.23.
+----
+=== 30 апреля 2025 ===
+Задачи: определить, пересекаются ли две плоскости; найти размерность аффинной оболочки их объединения и их пересечения, или степень их параллельности; провести через точку прямую, пересекающую две плоскости. Евклидовы аффинные пространства: расстояние между точками, от точки до плоскости и между плоскостями.
+== Домашнее задание: ==
+  * 49.16ав, 49.20бв, 51.2аг, 51.6а, 51.7в, 51.8, 51.14бв, 51.15.