Кафедра высшей алгебры

Преподаватель: Д.А.Тимашёв

Занятия проходят по понедельникам и четвергам на 4-й паре (15:00-16:35) в ауд. 407.

Объявление: пересдача коллоквиума пройдёт в понедельник 21 апреля на 5-й паре (16:45-18:20).

Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★.

Векторные пространства: простейшие следствия из аксиом, примеры (в частности: множество 2^X всех подмножеств множества X как векторное пространство над Z₂, абелеву группу Z нельзя превратить в векторное пространство). Изоморфизм векторных пространств (пример: 2^X ≅ {функции X→Z₂}). Линейные комбинации векторов, линейная зависимость, примеры линейно независимых систем функций. Базис, размерность, координаты. Изоморфизм конечномерного векторного пространства с арифметическим. Расширения полей как векторные пространства, число элементов конечного поля.

• 34.3дж, 34.4б, 34.5, 34.7бг, 34.8гд★з, 35.10абвг;
• доказать, что множество R⁺ положительных чисел с операциями u⊕v = u·v (u,v∈R⁺) и λ⊗v = v^λ (λ∈R, v∈R⁺) является векторным пространством над полем R.

Дополнение линейно независимой системы векторов до базиса. Матрица перехода к другому базису, её свойства, преобразование координат вектора при замене базиса. Подпространства, примеры. Базис, согласованный с подпространством.

• 34.10в, 34.11а, 34.12, 34.14аг, 35.3вдеж, 35.9, 35.10.

Пересечение и сумма двух подпространств (объединение — вообще говоря, не подпространство). Базис, согласованный с парой подпространств, формула Грассмана для размерности их суммы (пример: 7-мерное подпространство пространства матриц размера 4×4 содержит ненулевую симметрическую матрицу). Инварианты взаимного расположения пары подпространств, обсуждение инвариантов троек подпространств. Прямая сумма подпространств, проекции на прямые слагаемые (пример: разложение пространства квадратных матриц в прямую сумму подпространств симметрических и кососимметрических матриц).

• 35.17, 35.18, 35.22, 35.24, 35.26, 35.27.
• Если матрица A размера n×n имеет ранг ≤ n/2, то матричное уравнение AX=0 имеет решением ненулевую треугольную матрицу X.
• ★ Найти полную систему инвариантов взаимного расположения трёх подпространств в конечномерном векторном пространстве. Какое минимальное количество инвариантов для этого необходимо?
• Показать на примере, что для задания взаимного расположения четвёрки подпространств с точностью до изоморфизма недостаточно дискретных инвариантов (размерностей самих подпространств, их сумм, пересечений, …).

Линейные функции на векторном пространстве V, их координатная запись. Ядро линейной функции. Сопряжённое пространство V*, сопряжённый базис. Канонический изоморфизм пространств V и (V*)* в конечномерном случае. Двойственность между векторами и линейными функциями (ковекторами). Критерий базисности набора ковекторов, применение: интерполяционная формула Лагранжа.

• 36.9в, 36.14, 36.16, 36.18, 36.20;
• доказать, что набор линейных функций (β₀, …, β_n) на пространстве V многочленов степени ≤ n над полем K зарактеристики 0, где β_i(f) равно значению i-й производной многочлена f в точке t₀ ∈ K, образует базис пространства V*, найти сопряжённый ему базис в пространстве V и разложение произвольного многочлена f ∈ V по этому базису;
• (кратная интерполяция) доказать, что для любого набора попарно различных точек x₁, …, x_k на действительной прямой, любого набора натуральных чисел n₁, …, n_k и любого набора значений y_ij (1≤i≤k, 0≤j<n_i) существует единственный многочлен f степени < n₁+…+n_k, у которого значение j-й производной в точке x_i равно y_ij (при всех возможных i,j).

Аннулятор подпространства, его размерность. Совпадение второго аннулятора подпространства с этим подпространством в конечномерном случае. Задание подпространства однородной системой линейных уравнений ⇔ нахождение базиса аннулятора подпространства. Нахождение суммы и пересечения подпространств.

Линейные отображения, их матрицы, запись линейного отображения в координатах. Преобразование матрицы линейного отображения при замене базисов.

• 35.15в, 35.16б, 35.25, 36.2, 36.3, 36.4;
• задать системой однородных линейных уравнений сумму подпространств U+W в 4-мерном пространстве V при условии, что подпространства U и W заданы с помощью ОСЛУ:
• и

Ядро и образ линейного отображения. Канонический вид матрицы линейного отображения. Линейные операторы в векторном пространстве, их матрицы. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса.

• 36.6, 36.7, 36.8, 39.13★, 39.15гелн, 39.16, 39.19, 39.23.

Инвариантные подпространства линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения. Характеристический многочлен, его коэффициенты. Собственные подпространства. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения. Диагонализуемые операторы, эквивалентные условия диагонализуемости.

• 40.5, 40.7, 40.9, 40.15вге, 40.16ав, 40.24, 40.33★;
• ★ доказать, что любой многочлен со старшим коэффициентом 1 является характеристическим многочленом некоторого линейного оператора.

Коммутирующие семейства диагонализуемых линейных операторов диагонализуемы одновременно. Проекторы. Корневые векторы и корневые подпространства линейного оператора, их свойства. Нахождение корневых подпространств.

• 40.25, 40.27, 40.29, 40.35бг, 40.37, 40.38, 40.44★;
• доказать, что линейный оператор R со свойством R²=E диагонализуем, и объяснить его геометрический смысл (такие линейные операторы называются отражениями).

Нильпотентные операторы: жорданов базис, диаграммы Юнга. Жорданова нормальная форма (ЖНФ) линейного оператора, формулы для количества жордановых клеток с заданным собственным значением (всех и данного размера). Нахождение ЖНФ и жорданового базиса для линейного оператора.

• 41.1агжим, 41.3, 41.5, 41.7, 41.10бвг.

Нахождение ЖНФ и жорданового базиса для линейного оператора. Критерий нильпотентности линейного оператора в терминах собственных значений.

• 41.1аеж (найти жорданов базис), 41.13, 41.14★, 41.15, 41.18, 41.45, 15.3.

Вычисление циркулянта. Извлечение корней из линейных операторов и матриц.

• 41.21, 41.47;
• для каких вырожденных матриц A уравнение X^m = A имеет решение? Сформулировать ответ в виде условия на ЖНФ матрицы A в зависимости от m.

Многочлены от линейных операторов и матриц. Аннулирующие многочлены, теорема Гамильтона–Кэли. Минимальный многочлен, его свойства и вычисление. Вычисление многочлена от линейного оператора (матрицы) нахождением остатка при делении на минимальный многочлен. Аналитические функции от линейных операторов и матриц, их вычисление с помощью интерполяционного многочлена.

• 41.22, 41.27, 41.30, 41.33★, 42.19бгд, 42.20;
• вычислить E + A² - A³ - A⁵ + A⁶ + A⁸ - … + A⁴⁸ + A⁵⁰, где A — матрица вида
• 
• вычислить экспоненту матрицы
• .

Билинейные функции, их запись в координатах (билинейные формы). Матрица билинейной функции, её преобразование при замене базиса. Дискриминант, невырожденные билинейные функции. Ранг билинейной функции. Классификация билинейных функций ранга ≤ 1. Симметрические и кососимметрические билинейные функции, разложение пространства билинейных функций в прямую сумму подпространств симметрических и кососимметрических функций.

• 37.1джмопсту + 37.2 (для этих пунктов), 37.6, 37.25, 37.28, 37.30а★, 37.32.

Квадратичные функции, поляризация. Канонический вид симметрических билинейных и квадратичных функций, метод Лагранжа приведения к каноническому виду.

• 38.15аб, 38.16б, 38.18бвгжк, 38.29, 38.33.

Метод Якоби приведения квадратичной фукнции к каноническому виду. Нормальный вид симметрических билинейных и квадратичных функций над полями C и R, закон инерции. Неотрицательные и положительно определённые квадратичные фукнции, критерий Сильвестра. Геометрический смысл индексов инерции.

• 38.8б, 38.9, 38.11ав, 38.14а, 38.17б, 38.19, 38.21, 38.22а, 38.30.

Коллоквиум

1. Нахождение базиса и системы линейных уравнений для суммы двух подпространств, заданных системами линейных уравнений (1 вариант); нахождение размерности и базиса пересечения двух подпространств, заданных своими базисами (2 вариант).
2. Нахождение собственных векторов и жордановой нормальной формы линейного оператора.
3. Вычисление экспоненты матрицы (1 вариант) и многочлена от матрицы (2 вариант).
4. Приведение симметрической билинейной формы (1 вариант) и квадратичной формы (2 вариант) к каноническому виду.
5. Выяснение положительной определённости квадратичной формы в зависимости от значений параметра (1 вариант); выяснение эквивалентности двух квадратичных форм над полями C и R (2 вариант).

Евклидовы векторные пространства. Длина вектора, её свойства. Неравенство Коши–Буняковского. Ортогональность векторов, линейная независимость ортогональной системы ненулевых векторов. Обобщённая теорема Пифагора. Ортогональные и ортонормированные базисы, ортогональные системы координат. Ортогональное дополнение к подпространству, его свойства. Ортогональная проекция и ортогональная составляющая вектора относительно подпространства. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Матрица и определитель Грама, их свойства.

• 43.7аг, 43.11, 43.12, 43.15в, 43.18а, 43.19бв, 43.27.