Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- семинары_110_группа_весна_2025 [14.04.2025 18:01]
timashev
+++ семинары_110_группа_весна_2025 [26.05.2025 12:34] (текущий)
timashev
@@ Строка 5: / Строка 5: @@
 Занятия проходят **по понедельникам и четвергам** на **4**-й паре (15:00-16:35) в ауд. **407**.
-<color #ed1c24>**Объявление:**</color> пересдача коллоквиума пройдёт в понедельник <color #ed1c24>21 апреля</color> на **5**-й паре (16:45-18:20).
+== Расписание зачётов: ==
+  * 28 мая 2025, 13:00−16:00, ауд. 16-08
+  * 31 мая 2025, 13:00−16:00, ауд. 13-20
+  * 4 июня 2025, 9:00−12:00, ауд. 407
+== Экзамен: ==
+  * 19 июня 2025, 10:00, ауд. 14-08
 Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И.Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★.
@@ Строка 192: / Строка 199: @@
 === 14 апреля 2025 ===
-Объём многомерного параллелепипеда в евклидовом пространстве. Вычисление объёма параллелепипеда, натянутого на одночлены 1, x, x², в пространстве многочленов со скалярным умножением (f|g)=∫fgdx (интеграл по [-1,1]). Расстояние между векторами в евклидовом пространстве, его свойства. Расстояние между вектором и подпространством.
+Объём многомерного параллелепипеда в евклидовом пространстве. Вычисление объёма параллелепипеда, натянутого на одночлены 1, x, … , x<sup>n</sup>, в пространстве многочленов со скалярным умножением (f|g)=∫fgdx (интеграл по [-1,1]) при n = 1, 2, 3. Расстояние между векторами в евклидовом пространстве, его свойства. Расстояние между вектором и подпространством.
 == Домашнее задание: ==
   * 43.45а★, 43.36аб (вычислить объём двумя способами), 43.37, 43.21б, 43.24.
+----
+=== 17 апреля 2025 ===
+Угол между векторами, линейная независимость системы векторов с попарными углами π/3. Угол между вектором и подпространством.
+Ортогональные операторы и их матрицы. Свойства ортогональных операторов: сохранение длин, расстояний, углов, возможные собственные значения, ортогональность собственных подпространств, инвариантность ортогонального дополнения к инвариантному подпространству. Канонический вид матрицы ортогонального оператора.
+== Домашнее задание: ==
+  * 43.38б, 43.40, 43.41, 46.4, 46.12, 46.14.
+----
+=== 21 апреля 2025 ===
+Приведение матрицы ортогонального оператора к каноническому виду. Комплексификация вещественных векторных пространств и линейных операторов. Нахождение 2-мерного инвариантного подпространства для линейного оператора над **R**, не имеющего собственных векторов.
+Соответствие между линейными операторами и билинейными функциями в евклидовом пространстве. Сопряжённый оператор, его матрица. Подпространство U инвариантно относительно оператора A ⇒ ортогональное дополнение к U инвариантно относительно сопряжённого оператора A*. Оператор A ортогонален ⇔ A* обратен к A.
+Симметрические (самосопряжённые) операторы. Наличие собственного вектора и ортогональность собственных подпространств симметрического оператора. Канонический вид матрицы симметрического оператора.
+== Домашнее задание: ==
+  * 46.6агж, 44.1бвгде, 44.2, 44.5, 44.7, 45.4гж;
+  * привести к каноническому виду ортогональный оператор с матрицей
+  * {{:staff:timashev:ort.jpg|}}
+----
+=== 24 апреля 2025 ===
+Приведение симметрических билинейных и квадратичных функций к главным осям. Неотрицательные и положительно определённые симметрические операторы, пример: A*·A, где A — произвольный оператор в евклидовом пространстве. Критерий неотрицательности и положительной определённости симметрического оператора в терминах собственных значений. Извлечение квадратного корня из неотрицательного и положительно определённого оператора. Полярное разложение невырожденного линейного оператора в евклидовом пространстве.
+== Домашнее задание: ==
+  * 45.12, 45.14, 45.15, 45.18, 45.19деи, 46.16бв;
+  * всякая невырожденная вещественная матрица A представляется в виде A=U·D·V, где U и V — ортогональные матрицы, а D — диагональная матрица;
+  * ★ у любого линейного оператора A (возможно, вырожденного) существуют (не обязательно единственные) полярные разложения в виде A=U·R=S·V, где U,V — ортогональные, а R,S — неотрицательные симметрические операторы.
+----
+=== 28 апреля 2025 ===
+Аффинные пространства. Векторизация. Координаты в аффинном пространстве, замена координат. Плоскости в аффинном пространстве, способы их задания (опорная точка + направляющее подпространство, параметрический способ, аффинная оболочка, система линейных уравнений). Взаимное расположение плоскостей в аффинном пространстве, размерность аффинной оболочки их объединения и их пересечения, степень параллельности.
+== Домашнее задание: ==
+  * 49.3, 49.10б, 49.12, 49.16б, 49.20а, 49.23.
+----
+=== 30 апреля 2025 ===
+Задачи: определить, пересекаются ли две плоскости; найти размерность аффинной оболочки их объединения и их пересечения, или степень их параллельности; провести через точку прямую, пересекающую две плоскости. Евклидовы аффинные пространства: расстояние между точками, от точки до плоскости и между плоскостями.
+== Домашнее задание: ==
+  * 49.16ав, 49.20бв, 51.2аг, 51.6а, 51.7в, 51.8, 51.14бв, 51.15.
+----
+=== 5 мая 2025 ===
+Аффинные отображения и преобразования, достаточное условие наличия неподвижных точек. Движения  евклидовых пространств, вектор скольжения. Классификация движений в размерностях 2 и 3, задача на геометрическое описание движения 2-мерной плоскости.
+== Домашнее задание: ==
+  * 49.27а, 49.28, 51.19, 51.20, 51.21, 51.23бд, 51.24вг;
+  * ★ доказать,что всякое отображение евклидова аффинного пространства в себя, сохраняющее расстояния между точками, является аффинным преобразованием.
+----
+=== 7 мая 2025 ===
+Задача на геометрическое описание движения 3-мерного пространства.
+Квадратичные функции на аффинном пространстве, их координатная запись, расширенная матрица квадратичной функции. Квадратичные гиперповерхности (квадрики). Приведение квадратичной функции (квадрики) к каноническому или к нормальному виду и к главным осям. Различные типы квадрик (центральные и нецентральные, конические и неконические). Центр квадратичной функции (квадрики), его нахождение.
+== Домашнее задание: ==
+  * 52.4, 52.6авг, 52.16, 52.17, 52.19а, 52.20б, 52.21бв, 52.22суф.
+----
+=== 19 мая 2025 ===
+Тензоры, примеры: тензоры малых валентностей, det. Операции над тензорами: сложение, умножение на скаляры, тензорное умножение. Компоненты тензора, тензорный базис, правило Эйнштейна. Ковариантные и контравариантные тензоры, симметрические и кососимметрические тензоры. Внешнее умножение кососимметрических тензоров, его свойства, связь с определителями. Базис и размерность пространства кососимметрических тензоров. Канонический вид кососимметрической билинейной функции, приведение к каноническому виду с помощью внешнего умножения (аналог метода Лагранжа).
+== Домашнее задание: ==
+  * 47.1бв, 47.2, 47.3б, 47.4, 47.7ав, 48.14, 48.16, 37.33вг;
+  * ★ тензор det нельзя разложить в тензорное произведение тензоров меньших валентностей.
+----
+=== 22 мая 2025 ===
+== Контрольная работа ==
+  - Ортогонализация системы векторов (//1 вариант// ); вычисление объёма параллелепипеда (//2 вариант// ).
+  - Нахождение угла между вектором и подпространством (//1 вариант// ); вычисление расстояния от точки до плоскости (//2 вариант// ).
+  - Приведение симметрической билинейной формы (//1 вариант// ) и квадратичной формы (//2 вариант// ) к главным осям.
+  - Определение типа движения плоскости (//1 вариант// ) и пространства (//2 вариант// ) и его полное геометрическое описание.
+  - Полярное разложение невырожденного линейного оператора.