Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- семинары_110_группа_весна_2025 [14.04.2025 18:03]
timashev
+++ семинары_110_группа_весна_2025 [05.05.2025 17:11] (текущий)
timashev
@@ Строка 5: / Строка 5: @@
 Занятия проходят **по понедельникам и четвергам** на **4**-й паре (15:00-16:35) в ауд. **407**.
-<color #ed1c24>**Объявление:**</color> пересдача коллоквиума пройдёт в понедельник <color #ed1c24>21 апреля</color> на **5**-й паре (16:45-18:20).
+<color #ed1c24>**Объявление:**</color> семинары с четвергов <color #ed1c24>1</color> и <color #ed1c24>8 мая</color> переносятся на среды <color #ed1c24>30 апреля</color> и <color #ed1c24>7 мая</color>, **4**-я пара (15:00-16:35), ауд. **14-14**. На неделе с <color #ed1c24>12 по 18 мая</color> семинаров не будет.
 Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И.Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★.
@@ Строка 196: / Строка 196: @@
 == Домашнее задание: ==
   * 43.45а★, 43.36аб (вычислить объём двумя способами), 43.37, 43.21б, 43.24.
+----
+=== 17 апреля 2025 ===
+Угол между векторами, линейная независимость системы векторов с попарными углами π/3. Угол между вектором и подпространством.
+Ортогональные операторы и их матрицы. Свойства ортогональных операторов: сохранение длин, расстояний, углов, возможные собственные значения, ортогональность собственных подпространств, инвариантность ортогонального дополнения к инвариантному подпространству. Канонический вид матрицы ортогонального оператора.
+== Домашнее задание: ==
+  * 43.38б, 43.40, 43.41, 46.4, 46.12, 46.14.
+----
+=== 21 апреля 2025 ===
+Приведение матрицы ортогонального оператора к каноническому виду. Комплексификация вещественных векторных пространств и линейных операторов. Нахождение 2-мерного инвариантного подпространства для линейного оператора над **R**, не имеющего собственных векторов.
+Соответствие между линейными операторами и билинейными функциями в евклидовом пространстве. Сопряжённый оператор, его матрица. Подпространство U инвариантно относительно оператора A ⇒ ортогональное дополнение к U инвариантно относительно сопряжённого оператора A*. Оператор A ортогонален ⇔ A* обратен к A.
+Симметрические (самосопряжённые) операторы. Наличие собственного вектора и ортогональность собственных подпространств симметрического оператора. Канонический вид матрицы симметрического оператора.
+== Домашнее задание: ==
+  * 46.6агж, 44.1бвгде, 44.2, 44.5, 44.7, 45.4гж;
+  * привести к каноническому виду ортогональный оператор с матрицей
+  * {{:staff:timashev:ort.jpg|}}
+----
+=== 24 апреля 2025 ===
+Приведение симметрических билинейных и квадратичных функций к главным осям. Неотрицательные и положительно определённые симметрические операторы, пример: A*·A, где A — произвольный оператор в евклидовом пространстве. Критерий неотрицательности и положительной определённости симметрического оператора в терминах собственных значений. Извлечение квадратного корня из неотрицательного и положительно определённого оператора. Полярное разложение невырожденного линейного оператора в евклидовом пространстве.
+== Домашнее задание: ==
+  * 45.12, 45.14, 45.15, 45.18, 45.19деи, 46.16бв;
+  * всякая невырожденная вещественная матрица A представляется в виде A=U·D·V, где U и V — ортогональные матрицы, а D — диагональная матрица;
+  * ★ у любого линейного оператора A (возможно, вырожденного) существуют (не обязательно единственные) полярные разложения в виде A=U·R=S·V, где U,V — ортогональные, а R,S — неотрицательные симметрические операторы.
+----
+=== 28 апреля 2025 ===
+Аффинные пространства. Векторизация. Координаты в аффинном пространстве, замена координат. Плоскости в аффинном пространстве, способы их задания (опорная точка + направляющее подпространство, параметрический способ, аффинная оболочка, система линейных уравнений). Взаимное расположение плоскостей в аффинном пространстве, размерность аффинной оболочки их объединения и их пересечения, степень параллельности.
+== Домашнее задание: ==
+  * 49.3, 49.10б, 49.12, 49.16б, 49.20а, 49.23.
+----
+=== 30 апреля 2025 ===
+Задачи: определить, пересекаются ли две плоскости; найти размерность аффинной оболочки их объединения и их пересечения, или степень их параллельности; провести через точку прямую, пересекающую две плоскости. Евклидовы аффинные пространства: расстояние между точками, от точки до плоскости и между плоскостями.
+== Домашнее задание: ==
+  * 49.16ав, 49.20бв, 51.2аг, 51.6а, 51.7в, 51.8, 51.14бв, 51.15.
+----
+=== 5 мая 2025 ===
+Аффинные отображения и преобразования, достаточное условие наличия неподвижных точек. Движения  евклидовых пространств, вектор скольжения. Классификация движений в размерностях 2 и 3, задача на геометрическое описание движения 2-мерной плоскости.
+== Домашнее задание: ==
+  * 49.27а, 49.28, 51.19, 51.20, 51.21, 51.23бд, 51.24вг;
+  * ★ доказать,что всякое отображение евклидова аффинного пространства в себя, сохраняющее расстояния между точками, является аффинным преобразованием.