| Предыдущая версия справа и слева
Предыдущая версия
Следующая версия
|
Предыдущая версия
|
семинары_110_группа_весна_2025 [21.04.2025 21:46]
timashev |
семинары_110_группа_весна_2025 [26.05.2025 12:34] (текущий)
timashev |
| Занятия проходят **по понедельникам и четвергам** на **4**-й паре (15:00-16:35) в ауд. **407**. | Занятия проходят **по понедельникам и четвергам** на **4**-й паре (15:00-16:35) в ауд. **407**. |
| |
| <color #ed1c24>**Объявление:**</color> пересдача коллоквиума пройдёт в понедельник <color #ed1c24>21 апреля</color> на **5**-й паре (16:45-18:20). | == Расписание зачётов: == |
| | |
| | * 28 мая 2025, 13:00−16:00, ауд. 16-08 |
| | * 31 мая 2025, 13:00−16:00, ауд. 13-20 |
| | * 4 июня 2025, 9:00−12:00, ауд. 407 |
| | |
| | == Экзамен: == |
| | * 19 июня 2025, 10:00, ауд. 14-08 |
| |
| Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И.Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★. | Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И.Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★. |
| === 21 апреля 2025 === | === 21 апреля 2025 === |
| |
| Приведение матрицы ортогонального оператора, его нахождение. Комплексификация вещественных векторных пространств и линейных операторов, нахождение 2-мерного инвариантного подпространства для линейного оператора над **R**, не имеющего собственных векторов. | Приведение матрицы ортогонального оператора к каноническому виду. Комплексификация вещественных векторных пространств и линейных операторов. Нахождение 2-мерного инвариантного подпространства для линейного оператора над **R**, не имеющего собственных векторов. |
| |
| Соответствие между линейными операторами и билинейными функциями в евклидовом пространстве. Сопряжённый оператор, его матрица. Подпространство U инвариантно относительно оператора A ⇒ ортогональное дополнение к U инвариантно относительно сопряжённого оператора A*. Оператор A ортогонален ⇔ A* обратен к A. | Соответствие между линейными операторами и билинейными функциями в евклидовом пространстве. Сопряжённый оператор, его матрица. Подпространство U инвариантно относительно оператора A ⇒ ортогональное дополнение к U инвариантно относительно сопряжённого оператора A*. Оператор A ортогонален ⇔ A* обратен к A. |
| * привести к каноническому виду ортогональный оператор с матрицей | * привести к каноническому виду ортогональный оператор с матрицей |
| * {{:staff:timashev:ort.jpg|}} | * {{:staff:timashev:ort.jpg|}} |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 24 апреля 2025 === |
| | |
| | Приведение симметрических билинейных и квадратичных функций к главным осям. Неотрицательные и положительно определённые симметрические операторы, пример: A*·A, где A — произвольный оператор в евклидовом пространстве. Критерий неотрицательности и положительной определённости симметрического оператора в терминах собственных значений. Извлечение квадратного корня из неотрицательного и положительно определённого оператора. Полярное разложение невырожденного линейного оператора в евклидовом пространстве. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 45.12, 45.14, 45.15, 45.18, 45.19деи, 46.16бв; |
| | * всякая невырожденная вещественная матрица A представляется в виде A=U·D·V, где U и V — ортогональные матрицы, а D — диагональная матрица; |
| | * ★ у любого линейного оператора A (возможно, вырожденного) существуют (не обязательно единственные) полярные разложения в виде A=U·R=S·V, где U,V — ортогональные, а R,S — неотрицательные симметрические операторы. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 28 апреля 2025 === |
| | |
| | Аффинные пространства. Векторизация. Координаты в аффинном пространстве, замена координат. Плоскости в аффинном пространстве, способы их задания (опорная точка + направляющее подпространство, параметрический способ, аффинная оболочка, система линейных уравнений). Взаимное расположение плоскостей в аффинном пространстве, размерность аффинной оболочки их объединения и их пересечения, степень параллельности. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 49.3, 49.10б, 49.12, 49.16б, 49.20а, 49.23. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 30 апреля 2025 === |
| | |
| | Задачи: определить, пересекаются ли две плоскости; найти размерность аффинной оболочки их объединения и их пересечения, или степень их параллельности; провести через точку прямую, пересекающую две плоскости. Евклидовы аффинные пространства: расстояние между точками, от точки до плоскости и между плоскостями. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 49.16ав, 49.20бв, 51.2аг, 51.6а, 51.7в, 51.8, 51.14бв, 51.15. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 5 мая 2025 === |
| | |
| | Аффинные отображения и преобразования, достаточное условие наличия неподвижных точек. Движения евклидовых пространств, вектор скольжения. Классификация движений в размерностях 2 и 3, задача на геометрическое описание движения 2-мерной плоскости. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 49.27а, 49.28, 51.19, 51.20, 51.21, 51.23бд, 51.24вг; |
| | * ★ доказать,что всякое отображение евклидова аффинного пространства в себя, сохраняющее расстояния между точками, является аффинным преобразованием. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 7 мая 2025 === |
| | |
| | Задача на геометрическое описание движения 3-мерного пространства. |
| | |
| | Квадратичные функции на аффинном пространстве, их координатная запись, расширенная матрица квадратичной функции. Квадратичные гиперповерхности (квадрики). Приведение квадратичной функции (квадрики) к каноническому или к нормальному виду и к главным осям. Различные типы квадрик (центральные и нецентральные, конические и неконические). Центр квадратичной функции (квадрики), его нахождение. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 52.4, 52.6авг, 52.16, 52.17, 52.19а, 52.20б, 52.21бв, 52.22суф. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 19 мая 2025 === |
| | |
| | Тензоры, примеры: тензоры малых валентностей, det. Операции над тензорами: сложение, умножение на скаляры, тензорное умножение. Компоненты тензора, тензорный базис, правило Эйнштейна. Ковариантные и контравариантные тензоры, симметрические и кососимметрические тензоры. Внешнее умножение кососимметрических тензоров, его свойства, связь с определителями. Базис и размерность пространства кососимметрических тензоров. Канонический вид кососимметрической билинейной функции, приведение к каноническому виду с помощью внешнего умножения (аналог метода Лагранжа). |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 47.1бв, 47.2, 47.3б, 47.4, 47.7ав, 48.14, 48.16, 37.33вг; |
| | * ★ тензор det нельзя разложить в тензорное произведение тензоров меньших валентностей. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 22 мая 2025 === |
| | |
| | == Контрольная работа == |
| | |
| | - Ортогонализация системы векторов (//1 вариант// ); вычисление объёма параллелепипеда (//2 вариант// ). |
| | - Нахождение угла между вектором и подпространством (//1 вариант// ); вычисление расстояния от точки до плоскости (//2 вариант// ). |
| | - Приведение симметрической билинейной формы (//1 вариант// ) и квадратичной формы (//2 вариант// ) к главным осям. |
| | - Определение типа движения плоскости (//1 вариант// ) и пространства (//2 вариант// ) и его полное геометрическое описание. |
| | - Полярное разложение невырожденного линейного оператора. |
