Семинары по алгебре группы 114, осень 2024
Преподаватель: Куликова О.В.
Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, 2-е изд., Москва, Физматлит, 2015.
Занятие №1 (5 сентября 2024)
Определители 2-го и 3-го порядка. Свойства. Разложение по строке (по столбцу). Правило Крамера.
Домашнее задание: 9.1 (г, д), 9.2 (б,в,д,е), 12.1, 16.1 (а), 8.6 (б,г)
Занятие №2 (9 сентября, пн)
Системы линейных уравнений (СЛУ). Расширенная матрица. Лидер строки. Ступенчатый и улучшенный ступенчатый вид. Метод Гаусса.
Домашнее задание: 8.1 (б,в,г), 8.2 (в,г,з)
Занятие №3 (16 сентября, пн)
Векторное пространство (вещественное). Линейная комбинация. Линейная зависимость систем векторов. Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем. Критерий линейной зависимости. Основная лемма о линейной зависимости.
Домашнее задание: 6.2 (б), 6.3 (б,д), 6.4, 6.7 (б,д), 6.8, 6.9 (б,д),
Занятие №4 (19 сентября, чт)
Векторное подпространство. Линейная оболочка. База и ранг системы векторов. Алгоритм нахождения базиса и ранга конечной системы векторов и линейных выражений всех векторов системы через найденный базис. Алгоритм нахождения базиса и размерности линейной оболочки.
Домашнее задание: 6.11, 6.12 (б,г,д), 6.10 (б,д), 6.13, 35.11
Повторить определение векторного подпространства и примеры по лекциям!
Занятие №5 (23 сентября, пн)
Ранг матрицы=ранг строк=ранг столбцов. Метод элементарных преобразований.
Домашнее задание: 7.1 б, к, л (только ЭП), 7.2 д, е, з, ж, 7.3, 7.5
Занятие №6 (30 сентября, пн)
1) Критерий Кронекера-Капелли. Критерий определенности. Однородные СЛАУ. ФСР
2) Операции над матрицами (сложение, умножение на число, умножение).
Домашнее задание: 1) 8.4 в,г; 7.19, 8.25
2) 17.1 (б,в,ж), 17.2 (а), 17.3 (в), 17.4
Занятие №7 (3 октября)
Транспонирование. Многочлены от матриц. Матричные единицы. Матрицы специального вида.
Домашнее задание: 17.5, 17.16, 17.17, 17.26, 19.14, 19.15, 19.18
Занятие №8 (7 октября)
1) Ранг и операции над матрицами.
2) Перестановки. Четность.
Домашнее задание:
1) 7.7, 7.11, 7. 12
2) 3.5 (б, в, д),
Занятие №9 (14 октября)
1) Определение определителя.
2) Элементарные преобразования.
3) Метод приведения к треугольному виду.
Домашнее задание:
1) 10.2, 10.4 (г,д), 10.6,
2) 11.1, 11.2, 11.3,
3) 13.1 (б,е), 13.2 (а,з)
Занятие №10 (17 октября)
1) Формула разложения по строке/столбцу.
2) Определитель произведения.
3) Метод рекуррентных соотношений.
Домашнее задание:
1) 12.2, 12.3 (д,и)
2) 15.1, 15.2 (в)
3) 4.1, 4.2 (б), 14.1 (в,г,д)
Занятие №11 (21 октября)
Нахождение ранга методом окаймляющих миноров
Домашнее задание:
0) доделать 4.1 (г), 14.1 (д)
1) 7.1 (б,з), 7.2 (г) - решить методом окаймляющих миноров
Занятие №12 (28 октября)
Коллоквиум
Занятие №13 (28 октября)
1) Обратные матрицы
2) Матричные уравнения
3) Бинарная операция. Коммутативность. Ассоциативность. Нейтральный элемент
Домашнее задание:
1) 18.8 (г,ж,з,л), 18.9 (е,ж,л), 18.10 (б), 18.18
2) 18.3 (а,д,з,и,в), 18.4
3) 54.1 (а,б,в,д), 54.2
Занятие №14 (28 октября)
Контрольная работа
Занятие №15 (14 ноября, чт)
1) Группоид, полугруппа, моноид, группа.
2) Подстановки. Разложение на независимые циклы.
Домашнее задание:
1) 54.3, 55.1 (а-е), 55.3, 55.5 (а-в, з), 55.6 (к,л,м,р).
2) 3.1, 3.2, 3.3,
Занятие №16 (18 ноября, пн)
1) Подстановки. Разложение в произведение транспозиций. Четность перестановок. Четность подстановок. Свойства.
2) Комплексные числа. Сложение, произведение в алгебраической форме.
Домашнее задание:
1) 3.4, 3.6 (в,г,д), 3.7
2) 20.1 (б, в, к)
Занятие №17 (23 ноября, пн)
1) Комплексные числа (продолжение).
2) Кольца и поля. Основные определения.
Домашнее задание:
1) 20.3 (а), 20.4 (а), 21.1(г,и,ф,х), 21.2 (а,б,ж,з), 22.7 (б,в,п), 23.2 (а), 24.6 (ж,м,о,п)
2) 63.1 (л,м,к), 63.2 (а-г), 63.3 (а), 63.7+63.8 (для указанных пунктов), 63.10, 63.13 (а), 8.10
Занятие №18 (28 ноября, чт)
1) Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Деление с остатком. НОД.
2) Теорема Безу. Кратность корня (схема Горнера).
3) Ряд Тейлора. Определение кратности корня (через производные).
Домашнее задание:
1) 25.1(б), 25,3(б), 25.7,
2) 26.1 (в), 26.2(в),
3) 26.5, 26.6
Занятие №19 (2 декабря пн)
Неприводимые многочлены.
1) Многочлены над полем комплексных чисел и над полем вещественных чисел. Разложение на неприводимые множители.
2) Многочлены над полем рациональных чисел и конечными полями.
Домашнее задание:
1) 27.1 (б), 27.2 (б),
2) 28.1 (в), 28.2 (б,г), 28.6, 28.8, 28.9 (б), 28.22 (б)
Занятие №20 (9 декабря пн)
Симметрические многочлены
Домашнее задание: 31.9 (а, б, д) - сделать двумя способами
Занятие №21 (12 декабря чт)
1) Формулы Виета
2) Поле рациональных дробей
Домашнее задание:
1) 31.10 (б,в)
2) 29.1 (б,в,г,и), 29.2 (а,б,в,г,д)