Преподаватель: Куликова О.В.
Семинары проходят по понедельникам в 9:00 (четные нед.) в ауд. 425 и вторникам в 10:45 в ауд. 463.
Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, 3-е изд., Москва, Физматлит, 2001. Дополнительные задачи помечены знаком ★.
Темы КР №2:
1) Операции над комплексными числами.
2) Определение группы, подгруппы. Порядок элемента.
3) Определение кольца. Обратимые элементы, делители нуля. Определение поля.
4) СЛАУ в поле вычетов.
5) НОД целых чисел a и b и его линейное выражение через a и b. НОД многочленов f(x) и g(x) и его линейное выражение через f(x) и g(x).
6) Кратность корней многочленов. Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами.
7) Неприводимые многочлены (над R, C, Q). Разложение на неприводимые множители.
8) Представление рациональной дроби в виде суммы простейших дробей (над R, C).
9) Выражение симметрического многочлена в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов. Формулы Виета.
10) Система Штурма. Распределение корней.
Занятие №23 (12 декабря 2017)
Система Штурма. Распределение корней.
Домашнее задание: 33.1 в,г
Занятие №22 (11 декабря 2017)
Симметрические многочлены. Формулы Виета
Домашнее задание: 31.1 б, в, 31.2 б, 31.3а, 31.9б, 31.10 б, 31.21б
Занятие №21 (5 декабря 2017)
Рациональные дроби: представление в виде суммы многочлена и правильной дроби, разложение правильной дроби в сумму простейших дробей методом неопределённых коэффициентов.
Домашнее задание: 28.6, 29.1 в,г,и, 29.2 в,г,(д, е), 29.3
Занятие №20 (28 ноября 2017)
Простые и кратные корни. Неприводимые многочлены. Разложение на неприводимые многочлены.
Домашнее задание: 25.8а, 27.2б, 28.22б, 28.1, 28.2 б,в, 28.8, 28.9а
Занятие №19 (27 ноября 2016)
Многочлены от одной переменной над полем: деление с остатком, наибольший общий делитель многочленов и алгоритм Евклида, выражение НОД через исходные многочлены. Теорема Безу. Схема Горнера. Простые и кратные корни. Неприводимые многочлены. Разложение на неприводимые многочлены.
Домашнее задание: 25.1б, 25.3б, 25.7б, 26.1в, 26.3б,
(27.1б, 27.2б, 28.22б, 28.1, 28.2 б,в, 28.8, 28.9а)
Занятие №18 (21 ноября 2017)
Кольца. Обратимые элементы. Делители нуля. Поля. СЛАУ над полем вычетов.
Домашнее задание: 63.1 з, л, м, 63.2 а-д, 63.10, 63.13 а, 63.15 а.
Занятие №17 (14 ноября 2017)
Гомоморфизм групп. Образ. Ядро. Классы смежности. Нормальные подгруппы. Факторгруппы. Теорема о гомоморфизме.
Домашнее задание: 55.17 б,г,д,ж, 55.18 а, 58.26 а, 55.21, 58.1 в, 58.4 а, 58.29 в,г
Занятие №16 (13 ноября 2017)
Группы. Порядок элемента. Подгруппы. Порождающее множество. Циклические группы. Изоморфизм.
Занятие №15 (7 ноября 2017)
Коллоквиум
Занятие №14 (31 октября 2017)
Комплексные числа. Показательная форма. Связь с геометрией на плоскости.
Бинарные операции. Группоиды, полугруппы, моноиды, группы.
Занятие №13 (30 октября 2017)
Комплексные числа. Алгебраическая и тригонометрическая форма.—- Занятие №12 (24 октября 2017)
Контрольная работа по алгебре (по темам, входящим в программу коллоквиума).
Темы (кратко)
1) Однородные и неоднородные СЛАУ.
2) Ранг системы векторов. Ранг матрицы.
3) Подстановки.
4) Определители.
5) Обратные матрицы.
6) Матричные уравнения.
Занятие №11 (17 октября 2017)
Обратная матрица. Матричные уравнения.
Домашнее задание: 18.8 г, д, ж, з, л, 18.9 е, ж, л, 18.10 б, 18.17, 18.18, 17.26, 18.3 а, д, в, г, з, и, 18.4
Занятие №10 (16 октября 2017)
Определитель произведения матриц. Метод окаймляющих миноров
Домашнее задание: 15.1, 15.2 в, 7.1 б,з,к (решить методом окаймляющих миноров),14.1 н,о
Занятие №9 (10 октября 2017)
Определители. Разложение по строке (по столбцу). Рекуррентные соотношения.
Домашнее задание: 12.2, 12.3 д,и, 14.1 г-ж, 4.1, 4.2 б
Занятие №8 (3 октября 2017)
Четность подстановки. Определители. Формула полного разложения. Свойства определителей. Метод приведения к треугольному виду.
Домашнее задание: 3.5 б,д, 3.6 в,г,д, 10.2, 10.4 г,д, 10.6, 11.1, 11.2, 11.3, 13.1 б.е, 13.2 а, б, з.
Занятие №7 (2 октября 2017)
Подстановки. Разложение в произведение независимых циклов и в произведение транспозиций.
Домашнее задание: 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 7.11, 7.12
Занятие №6 (26 сентября 2017)
Однородные СЛАУ. ФСР. Общее решение неоднородной СЛАУ. Операции над матрицами (сложения, умножение на число, умножение, транспонирование)
Домашнее задание: 8.4 в,г, 17.1 в,ж, 17.2 б, 17.4 а, 17.5 а, 7.7
Занятие №5 (19 сентября 2017)
Линейная оболочка.
Домашнее задание: 35.11, 6.14
Занятие №4 (18 сентября 2017)
Базис (база) и ранг системы. Алгоритм нахождения базиса и ранга конечной системы векторов в R^n. Ранг матрицы. Ранг матрицы=ранг строк=ранг столбцов. Метод элементарных преобразований.
Домашнее задание:6.12 б,г,д 6.10 б, д, 6.13, 7.1 б, к, л (только ЭП), 7.2 д, е, з, 7.3, 7.5
Занятие №3 (12 сентября 2017)
Арифметическое векторное пространство. Линейная комбинация. Линейная зависимость систем векторов.
Домашнее задание: 6.2 б, 6.3 б,д, 6.4, 6.7д, 6.8, 6.9 б,д
Занятие №2 (5 сентября 2017)
Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и их матрицы. Элементарные преобразования. Метод Гаусса решения СЛАУ. СЛАУ с параметром.
Домашнее задание: 8.1 б,в,г, 8.2 в,г,з
Занятие №1 (4 сентября 2017)
Определители 2-го и 3-го порядка. Метод разложения по строке/столбцу. Формулы Крамера.
Домашнее задание: 9.1 д, 9.2 б,в,д,е, 8.6 б,в,г