Преподаватель: Д.А. Тимашёв

Занятия проходят по понедельникам на 2-й паре (10:35-12:20) в ауд. 410.

Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И. Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★.

Единственность нейтрального и обратного элементов в группе. Задание конечных групп таблицей умножения, примеры: группа Клейна V_4, группа кватернионов Q_8. Примеры изоморфных и неизоморфных групп: аддитивная и мультипликативная группы поля R, а также группа положительных вещественных чисел по умножению; Z_4 и V_4; GL_2(C) и GL_3(C). Сопряжённость элементов в группе. Порядок элемента группы, его свойства, циклические группы. Теорема Лагранжа и её следствия. Проблема классификации конечных групп.

• 55.25абг, 55.26, 56.7в, 56.10, 56.11;
• доказать, что множество G с ассоциативной операцией, в котором есть правая единица (элемент e со свойством g·e=g, ∀g∈G) и правый обратный для каждого g∈G (элемент g' со свойством g·g'=e), является группой;
• какие из групп изоморфны: аддитивная группа поля рациональных чисел, его мультипликтивная группа, группа положительных рациональных чисел (по умножению)?
• доказать, что любая группа простого порядка p изоморфна Z_p;
• доказать, что любая группа порядка 4 изоморфна либо Z_4 либо V_4;
• ★ доказать, что любая группа порядка 6 изоморфна либо Z_6 либо S_3.

Классификация конечных групп порядка ≤10 (формулировка, для групп порядка 4 доказано).

Сопряжённость элементов в группе, классы сопряжённости, центр группы. Вычисление классов сопряженности и центра для групп Q_8, S_n, D_n. Нормальные подгруппы в группах S_3, S_4.

• 57.30б, 57.36, 58.3, 58.4б, 58.10★, 58.11а, 58.20б, 58.23, 58.24агж.

Вычисление факторгрупп непосредственно и с помощью основной теоремы о гомоморфизмах. Автоморфизмы групп, вычисление Aut(Aut(Aut Z_9)).

• 58.32де, 58.33ге, 58.43, 57.39а, 57.40, 57.41б;
• ★ доказать, что Aut(S_n)=Inn(S_n)≅S_n, кроме случаев n=2,6.

Прямое произведение (прямая сумма) групп, примеры разложений и неразложимости групп в прямые произведения (прямые суммы). Полупрямое произведение групп, примеры.

• 60.2бвг, 60.5ав, 60.8б, 60.12;
• какие из групп в задаче 60.2 разложимы (нетривиальным образом) в полупрямое произведение?
• разложить в полупрямое произведение группы: а) GL_n(K) б) невырожденных верхнетреугольных матриц размера n×n.