Лекции по алгебре 241 группа. Лектор Аржанцев Иван Владимирович
2021/2022 учебный год
Курс завершен
14.12.2021. Лекция 22. Над Z_p существует неприводимый многочлен произвольной степени. Поле из четырех элементов. Подполя конечного поля. Тела и алгебры с делением. Тело кватернионов. Минимальный многочлен элемента алгебры и его свойства. Конечномерные алгебры с делением над алгебраически замкнутым полем. Теорема Фробениуса.
07.12.2021. Лекция 21. Существование и единственность поля разложения многочлена. Простое подполе. Порядок конечного поля. Автоморфизм Фробениуса. Теорема существования и единственности для конечных полей.
04.12.2021. Лекция 20. Конечное расширение полей и его степень, степень башни расширений, степень расширения F[x]/(f) над F. Присоединение корня. Алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен. Алгебраические элементы образуют подполе. Поле разложения многочлена.
25.11.2021. Лекция 19. Идеалы в коммутативных кольцах. Кольца главных идеалов. Алгебра матриц над полем является центральной простой алгеброй. Факторкольца, теорема о гомоморфизме для колец. Факторкольцо F[x]/(f) является полем в точности тогда, когда многочлен f неприводим.
23.11.2021. Лекция 18. Неприводимые представления группы S_4. Кольца, поля и алгебры: определения и примеры. Групповая алгебра. Делители нуля, обратимые элементы, нильпотенты и идемпотенты. Левые, правые и двусторонние идеалы.
16.11.2021. Лекция 17. Пространство комплекснозначных функций на конечной группе как эрмитово пространство. Соотношения ортогональности для характеров. Кратность вхождения неприводимого представления как скалярное произведение характеров, определяемость представления его характером. Число неприводимых представлений конечной группы. Разложение регулярного представления конечной группы на неприводимые. Сумма квадратов размерностей неприводимых представлений. Описание неприводимых представлений группы S_3.
11.11.2021. Лекция 16. Гомоморфизмы представлений, лемма Шура, усреднение линейных отображений. Характер представления, центральные функции на группе.
09.11.2021. Лекция 15. Инвариантность ортогонального дополнения. Одномерные представления: сведение к фактору по коммутанту. Описание одномерных комплексных представлений конечных абелевых групп. Неприводимое комплексное представление абелевой группы одномерно.
02.11.2021. Лекция 14. Прямая сумма представлений, вполне приводимые представления. Примеры отсутствия полной приводимости. Теорема Машке. Инвариантные скалярные произведения над R и C.
28.10.2021. Лекция 13. Представление группы, эквивалентность представлений, подпредставление, неприводимое представление. Примеры представлений. Регулярное представление конечной группы. Мономиальное и каноническое представление симметрической группы. Неприводимость канонического представления.
26.10.2021. Лекция 12. Факторгруппа G/Z(G) не может быть циклической. Коммутативность групп порядка p^2. Силовские подгруппы. Первая теорема Силова. Вторая теорема Силова. Третья теорема Силова. Группа порядка pq разрешима ступени не выше двух.
19.10.2021. Лекция 11. Три действия группы на себе. Теорема Кэли. Сопряженность стабилизаторов точек одной орбиты, изоморфизм действий, транзитивное действие изоморфно действию на G/H. Длина орбиты конечной группы и формула Бернсайда. p-группы, нетривиальность центра и разрешимость.
14.10.2021. Лекция 10. Простота группы A_n при n>4 (завершение доказательства). Общие сведения о классификации конечных простых групп. Действие группы на множестве, орбиты и стабилизаторы, транзитивные, свободные и эффективные действия, ядро неэффективности, примеры действий.
12.10.2021. Лекция 9. Основные примеры и свойства разрешимых групп. Производный ряд. Разрешимость группы верхнетреугольных матриц. Простые группы. Существование композиционного ряда. Расширения групп. Абелевы простые группы. Простота группы A_n при n>4 (начали доказывать).
05.10.2021. Лекция 8. Коммутатор элементов. Коммутант группы и его свойства. Характеристические подгруппы. Коммутанты групп S_n, A_n, D_n, SL_n(F) и GL_n(F). Кратные коммутанты, их характеристичность и нормальность. Разрешимые группы.
30.09.2021. Лекция 7. Единственность разложения конечной абелевой группы в прямую сумму примарных циклических. Экспонента конечной группы. Конечная подгруппа мультипликативной группы поля циклическая. Единственность разложения конечно порожденной абелевой группы. Порождающие элементы. Группа A_n порождена тройными циклами и произведениями пар независимых транспозиций (n>4). Порождающие группы D_n. Группа GL_n(F) порождена элементарными матрицами, а группа SL_n(F) – элементарными матрицами первого типа.
28.09.2021. Лекция 6. Приведение целочисленной матрицы к диагональному виду. Теорема о согласованных базисах. Факторгруппы свободных абелевых групп. Универсальное свойство свободной абелевой группы. Разложение конечно порожденной абелевой группы в прямую сумму циклических. Классификация конечных абелевых групп.
21.09.2021. Лекция 5. Абелевы группы: периодическая часть, группы без кручения, конечно порожденные и свободные группы. Базис и ранг свободной абелевой группы, матрица перехода. Подгруппа свободной абелевой группы ранга n свободна и ее ранг не превосходит n.
16.09.2021. Лекция 4. Классы сопряженности в группах S_n, D_n и GL_n(C). Внешние и внутренние прямые произведения групп. Факторизация по сомножителям. Разложение конечной циклической группы.
14.09.2021. Лекция 3. Теорема о гомоморфизме (доказательство). Примеры применения теоремы о гомоморфизме. Группа автоморфизмов Aut(G). Вычисление групп автоморфизмов циклических групп. Группа внутренних автоморфизмов Inn(G). Центр группы. Классы сопряженности, централизатор элемента, формула для числа элементов в классе сопряженности
07.09.2021. Лекция 2. Криптография с открытым ключом. Задача дискретного логарифмирования и метод повторного возведения в квадрат. Система Диффи-Хеллмана обмена ключами. Криптосистема Эль-Гамаля. Смежные классы, индекс подгруппы, теорема Лагранжа и пять следствий из нее. Нормальные подгруппы, факторгруппы, теорема о гомоморфизме (формулировка)
02.09.2021. Лекция 1. Группа, подгруппа, гомоморфизм, изоморфизм и автоморфизм. Примеры групп: числовые (аддитивные и мультипликативные), вычеты, группы подстановок, группы матриц, группы симметрий, группа диэдра D_n, группа кватернионов Q_8. Циклические подгруппы и порядок элемента. Циклические группы и их классификация. Подгруппы циклических групп.