Кафедра высшей алгебры

Вы посетили: » семинары_202_группа_осень_2019



      

Семинары, 202 группа

Преподаватель: Д.А. Тимашёв

Занятия проходят по понедельникам на 3-й паре (13:15-14:50) в ауд. 436.

Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И. Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★.


2 сентября 2019

Единственность нейтрального и обратного элементов в группе. Задание конечных групп таблицей умножения, примеры: группа Клейна V_4, группа кватернионов Q_8. Примеры изоморфных и неизоморфных групп: аддитивная и мультипликативная группы поля R, а также группа положительных вещественных чисел по умножению; Z_4 и V_4; GL_2(C) и GL_3(C). Сопряжённость элементов в группе. Порядок элемента группы, его свойства, циклические группы. Теорема Лагранжа, группы простого порядка. Классификация конечных групп порядка ≤10 (формулировка).

Домашнее задание:
  • 55.25абг, 55.26, 56.7в, 56.10, 56.11, 55.16;
  • доказать, что множество G с ассоциативной операцией, в котором есть правая единица (элемент e со свойством g·e=g, ∀g∈G) и правый обратный для каждого g∈G (элемент g' со свойством g·g'=e), является группой;
  • какие из групп изоморфны: аддитивная группа поля рациональных чисел, его мультипликтивная группа, группа положительных рациональных чисел (по умножению)?
  • доказать, что любая группа порядка 4 изоморфна либо Z_4 либо V_4;
  • ★ доказать, что любая группа порядка 6 изоморфна либо Z_6 либо S_3.

9 сентября 2019

Сопряжённость элементов в группе, классы сопряжённости, центр группы. Вычисление классов сопряженности и центра для групп Q_8, S_n, D_n. Нормальные подгруппы в группе S_3.

Домашнее задание:
  • 57.30б, 57.36, 58.3, 58.4бв, 58.10★, 58.11а, 58.20б, 58.23, 58.24агж.

16 сентября 2019

Нормальные подгруппы в группе S_4. Вычисление факторгрупп непосредственно и с помощью основной теоремы о гомоморфизмах. Автоморфизмы групп, вычисление Aut(Aut(Aut Z_9)).

Домашнее задание:
  • 58.32де, 58.33ге, 58.43, 57.39а, 57.40, 57.41б;
  • ★ доказать, что Aut(S_n)=Inn(S_n)≅S_n, кроме случаев n=2,6.

23 сентября 2019

Прямое произведение (прямая сумма) групп, примеры разложений и неразложимости групп в прямые произведения (прямые суммы). Полупрямое произведение групп, примеры.

Домашнее задание:
  • 60.2бвг, 60.5ав, 60.8б, 60.12;
  • какие из групп в задаче 60.2 разложимы (нетривиальным образом) в полупрямое произведение?
  • разложить в полупрямое произведение группы: а) GL_n(K) б) невырожденных верхнетреугольных матриц размера n×n.

30 сентября 2019

Конечно порождённые и не конечно порождённые абелевы группы, примеры. Структура конечно порождённых абелевых групп, её определение, исходя из представления группы в виде факторгруппы свободной группы по подгруппе, заданной набором порождающих элементов, приведением целочисленной матрицы координат порождающих элементов подгруппы к «диагональному» виду. Вычисление порядка элемента в конечно порождённой абелевой группе, представленной как факторгруппа свободной группы. Критерий конечности факторгруппы свободной абелевой группы.

Домашнее задание:
  • 60.32, 60.50, 60.52агд, 60.53, 60.54;
  • Являются ли конечно порождёнными следующие группы:
    1. группа рациональных дробей m/n, у которых простые делители n содержатся среди {p_1,…,p_s}, с операцией сложения;
    2. группа рациональных дробей m/n≠0, у которых простые делители m и n содержатся среди {p_1,…,p_s}, с операцией умножения;
  • доказать две формулы для объёма целочисленного n-мерного параллелепипеда П:
    1. vol(П) = число целых точек в П, не лежащих на его гранях, не содержащих данную вершину 0;
    2. vol(П) = ∑ (1/2^k)⋅(число целых точек внутри всех (n-k)-мерных граней П), где суммирование ведётся по k=0,1,…,n;
  • доказать формулу Пика для площади целочисленного многоугольника P:
  • S(P) = (число целых точек внутри P)+½⋅(число целых точек на периметре P)-1.

7 октября 2019

Конечные абелевы группы, их структура, тип группы. Классификация конечных абелевых групп заданного порядка. Определение типа факторгруппы конечной (или конечно порождённой) абелевой группы. Вложимость конечных абелевых групп друг в друга. Количество подгрупп заданного порядка в данной конечной абелевой группе.

Домашнее задание:
  • 60.39ежз, 60.40ав, 60.42, 60.43бв, 60.45.

14 октября 2019

Действия групп на множествах, описание орбит и стабилизаторов. В подгруппе индекса k содержится нормальная подгруппа индекса, делящего k!. Пять правильных многогранников (платоновы тела), двойственность между ними. Группы движений двойственных многогранников совпадают. Группа движений куба.

Домашнее задание:
  • 57.1абв, 57.2а, 57.3, 57.9бв, 57.12бв, 57.13ав★, 58.37.