Кафедра высшей алгебры

Вы посетили:



      

Различия

Здесь показаны различия между выбранной ревизией и текущей версией данной страницы.

семинары_202_группа_осень_2019 [09.09.2019 15:33]
timashev
семинары_202_группа_осень_2019 [17.12.2019 19:12] (текущий)
timashev
Строка 27: Строка 27:
== Домашнее задание: == == Домашнее задание: ==
-  * 57.30б, 57.36, 58.3, 58.4бв, 58.10★, 58.11а, 58.19б, 58.22, 58.23агж.+  * 57.30б, 57.36, 58.3, 58.4бв, 58.10★, 58.11а, 58.20б, 58.23, 58.24агж. 
 + 
 +---- 
 + 
 +=== 16 сентября 2019 === 
 + 
 +Нормальные подгруппы в группе S_4. Вычисление факторгрупп непосредственно и с помощью основной теоремы о гомоморфизмах. Автоморфизмы групп, вычисление Aut(Aut(Aut **Z**_9)). 
 + 
 +== Домашнее задание: == 
 +  * 58.32де, 58.33ге, 58.43, 57.39а, 57.40, 57.41б; 
 +  *★ доказать, что Aut(S_n)=Inn(S_n)≅S_n, кроме случаев n=2,6. 
 + 
 +---- 
 + 
 +=== 23 сентября 2019 === 
 + 
 +Прямое произведение (прямая сумма) групп, примеры разложений и неразложимости групп в прямые произведения (прямые суммы). Полупрямое произведение групп, примеры.  
 + 
 +== Домашнее задание: == 
 +  * 60.2бвг, 60.5ав, 60.8б, 60.12; 
 +  * какие из групп в задаче 60.2 разложимы (нетривиальным образом) в полупрямое произведение? 
 +  * разложить в полупрямое произведение группы: а) GL_n(K) б) невырожденных верхнетреугольных матриц размера n×n. 
 + 
 +=== 30 сентября 2019 === 
 + 
 +Конечно порождённые и не конечно порождённые абелевы группы, примеры. Структура конечно порождённых абелевых групп, её определение, исходя из представления группы в виде факторгруппы свободной группы по подгруппе, заданной набором порождающих элементов, приведением целочисленной матрицы координат порождающих элементов подгруппы к "диагональному" виду. Вычисление порядка элемента в конечно порождённой абелевой группе, представленной как факторгруппа свободной группы. Критерий конечности факторгруппы свободной абелевой группы. 
 + 
 +== Домашнее задание: == 
 +  * 60.32, 60.50, 60.52агд, 60.53, 60.54; 
 +  * Являются ли конечно порождёнными следующие группы: 
 +    - группа рациональных дробей m/n, у которых простые делители n содержатся среди {p_1,…,p_s}, с операцией сложения;  
 +    - группа рациональных дробей m/n≠0, у которых простые делители m и n содержатся среди {p_1,…,p_s}, с операцией  умножения;     
 +  * доказать две формулы для объёма целочисленного n-мерного параллелепипеда П: 
 +    - vol(П) = число целых точек в П, не лежащих на его гранях, не содержащих данную вершину 0; 
 +    - vol(П) = ∑ (1/2^k)⋅(число целых точек внутри всех (n-k)-мерных граней П), где суммирование ведётся по k=0,1,…,n; 
 +  * доказать формулу Пика для площади целочисленного многоугольника P: 
 +  * S(P) = (число целых точек внутри P)+½⋅(число целых точек на периметре P)-1. 
 + 
 +---- 
 + 
 +=== 7 октября 2019 === 
 + 
 +Конечные абелевы группы, их структура, тип группы. Классификация конечных абелевых групп заданного порядка. Определение типа факторгруппы конечной (или конечно порождённой) абелевой группы. Вложимость конечных абелевых групп друг в друга. Количество подгрупп заданного порядка в данной конечной абелевой группе. 
 + 
 +== Домашнее задание: == 
 +  * 60.39ежз, 60.40ав, 60.42, 60.43бв, 60.45. 
 + 
 +---- 
 + 
 +=== 14 октября 2019 === 
 + 
 +Действия групп на множествах, описание орбит и стабилизаторов. В подгруппе индекса k содержится нормальная подгруппа индекса, делящего k!. Пять правильных многогранников (платоновы тела), двойственность между ними. Группы движений двойственных многогранников совпадают. Группа движений куба. 
 + 
 +== Домашнее задание: == 
 +  * 57.1абв, 57.2а, 57.3, 57.9бв, 57.12бв, 57.13ав★, 58.37. 
 + 
 +---- 
 + 
 +=== 21 октября 2019 === 
 + 
 +Теоретико-групповое определение и классификация правильных многогранников. Формула Бернсайда для числа орбит действия конечной группы на конечном множестве. Действие группы на себе сопряжениями: классы сопряжённости и централизаторы, число элементов в классе сопряжённости, формула классов. 
 + 
 +== Домашнее задание: == 
 +  * 57.23б, 57.25, 57.31, 58.44; 
 +  * сколько существует различных игральных костей? (игральная кость — это кубик, на каждой грани которого написана цифра от 1 до 6, причём цифры могут повторяться); 
 +  * доказать формулу Эйлера для правильного многогранника с помощью формулы Бернсайда. 
 + 
 +---- 
 + 
 +=== 28 октября 2019 === 
 + 
 +Коммутант группы, его свойства. Вычисление коммутанта группы G методом оценки сверху (ядро гомоморфизма G в абелеву группу) и снизу (подгруппа, порождённая некоторым количеством коммутаторов). Кратные коммутанты, разрешимые группы, критерий разрешимости (в терминах подгруппы и факторгруппы). 
 + 
 +== Домашнее задание: == 
 +  * 62.7г, 62.8б, 62.11в, 62.13, 62.15; 
 +  * доказать, что -E не является коммутатором в группе SL_2(**R**); 
 +  * вычислить производный ряд для группы, состоящей из невырожденных действительных матриц вида 
 +  * {{:staff:timashev:commutant.jpg|}} 
 + 
 +=== 18 ноября 2019 === 
 + 
 +Силовские подгруппы, теоремы Силова, примеры: силовские подгруппы в A_4, в GL_2(**Z**_p), в прямом произведении групп. Арифметика конечных групп: доказательство непростоты, разрешимости, коммутативности групп заданного порядка (80, 12, 455). 
 + 
 +== Домашнее задание: == 
 +  * 59.3а, 59.4а, 59.13где, 59.15, 59.20вг, 59.22ав, 62.18вгде★; 
 +  * описать все силовские 3-подгруппы в D_3×A_4. 
 + 
 +---- 
 + 
 +=== 25 ноября 2019 === 
 + 
 +Классификация групп порядка ≤10. 
 + 
 +Линейные и матричные представления групп, в том числе представление в пространстве функций на множестве с действием группы. Приводимые и вполне приводимые представления, разложение в прямую сумму неприводимых представлений. Нахождение инвариантных подпространств и доказательство неприводимости (пример: стандартное представление группы A_n при n≥5). Теорема Машке. Описание неприводимых комплексных представлений конечных абелевых групп (пример: V_4) и одномерных комплексных представлений конечных групп (пример: S_3×D_5). 
 + 
 +== Домашнее задание: == 
 +  * 69.2, 69.7, 69.9, 69.11, 70.2жз, 70.10; 
 +  * доказать, что любая неабелева группа порядка 8 изоморфна либо Q_8, либо D_4; 
 +  * разложить мономиальное представление группы A_n при n=3,4 над полем **C** на неприводимые слагаемые; 
 +  * описать все одномерные комплексные представления групп A_4×D_4 и Q_8. 
 + 
 +---- 
 + 
 +=== 9 декабря 2019 === 
 + 
 +Факты о количестве и размерностях неприводимых комплексных представлений конечной группы. Описание всех неприводимых комплексных представлений группы D_n. 
 + 
 +Структурные константы алгебры. Классификация двумерных комплексных алгебр с единицей. 
 + 
 +== Домашнее задание: == 
 +  * 70.34бге, 70.37б, 70.39, 63.21б, 63.22а; 
 +  * описать все неприводимые комплексные представления групп Q_8 и A_4×**Z**_3. 
 + 
 +---- 
 + 
 +=== 16 декабря 2019 === 
 + 
 +Идеалы, главные идеалы, кольца главных идеалов. Факторалгебры K[x]/(f), их свойства, вычисления в K[x]/(f). Присоединение корня, избавление от иррациональности в знаменателе. Минимальный многочлен. Конечные поля, поле из 16 элементов. 
 + 
 +== Домашнее задание: == 
 +  * 64.8б, 64.2а, 64.42, 64.43, 67.3бгдеж, 67.12; 
 +  * представить выражение (a²-3a-1)/(a²+2a+1) в виде многочлена от a наименьшей возможной степени с рациональными коэффициентами, где a∈**C** — корень многочлена x³+x²+3x+4; 
 +  * найти минимальный многочлен элемента a^2+a+1 над полем **Z**_2, где a -- корень неприводимого над **Z**_2 многочлена x^4+x+1. 
 + 
 +=== 17 декабря 2019 === 
 + 
 +== Контрольная работа == 
 +  - Вычисление факторгруппы свободной абелевой группы и нахождение в ней порядка заданного элемента (//1 вариант//) и количества элементов заданного порядка (//2 вариант//). 
 +  - Нахождение централизатора элемента группы подстановок и количества элементов в его классе сопряжённости (//1 вариант//); описание орбит действия группы на множестве (//2 вариант//). 
 +  - Доказательство коммутативности группы заданного порядка (//1 вариант//); описание силовских подгрупп в группе (//2 вариант//). 
 +  - Вычисление производного ряда группы (//1 вариант//); доказательство разрешимости группы заданного порядка (//2 вариант//). 
 +  - Описание одномерных комплексных представлений группы. 
 +  - Избавление от иррациональности в знаменателе выражения в поле, получаемом присоединением корня неприводимого многочлена к полю **Z**_3 (//1 вариант//) и **C** (//2 вариант//).