Инструкция для студентов 205 группы по проведению экзамена по алгебре 6 января
Время подключения к зум для 205 группы на экзамен 6 января
Консультация перед экзаменом для 205 группы состоится 5 января в 16:00 по ссылке
https://us02web.zoom.us/j/82377254882?pwd=dmQwcE5VV3BEYW03MnBqVjQ2NEExdz09
Идентификатор конференции: 823 7725 4882 Код доступа: 309410
Семинары 205 группы
Преподаватель: Куликова О.В.
Семинары проходят по пятницам в 15:45 в ауд. 439.
Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, 2-е изд., Москва, Физматлит, 2015.
Дополнительные задачи помечены знаком ★.
Занятие №1 (4 сентября 2020)
(Повторение из 1-го семестра)
Определение группы и подгруппы, циклической подгруппы. Порядок группы, порядок элемента, теорема Лагранжа, следствия. Гомоморфизм, изоморфизм групп. Система порождающих элементов группы.
Домашнее задание:
1) 55.5 (к,л), 55.6 (р,с,т), 56.32 (б, в),
• доказать, что множество G с ассоциативной операцией, в котором есть правая единица (элемент e со свойством g·e=g, ∀g∈G) и правый обратный для каждого g∈G (элемент g' со свойством g·g'=e), является группой;
2) 56.3 (без а, в), 56.11, 56.28,
3) 55.17, 58.28, 55.26,
• доказать, что любая группа порядка 4 изоморфна либо Z_4, либо V_4;
• ★ доказать, что любая группа порядка 6 изоморфна либо Z_6, либо S_3.
Занятие №2 (11 сентября 2020)
(Повторение из 1-го семестра)
Смежные классы. Нормальные подгруппы.
Домашнее задание:
1) 56.37 (е-к)
2) 58.1 (в,г), 58.2, 58.5, 58.11 (а)
Занятие №3 (16 сентября 2020)
1) Факторгруппы
2) Центр. Классы сопряженных элементов
Домашнее задание:
1) 58.30, 58.32, 58.33
2) 58.24 (б,в,ж), 58.11 (б), 57.30 (б,в), 57.35 (в,г), 58.4 (б,в)
Занятие №4 (25 сентября 2020)
Централизатор. Нормализатор
Домашнее задание: 57.23 (б), 57.24 (б,в,г), 57.25, 57.31 (в), 57.38 (б,в)
• Доказать, что централизатор подгруппы является нормальной подгруппой в нормализаторе подгруппы. Привести пример, когда централизатор подгруппы не является нормальной подгруппой во всей группе.
Занятие №5 (2 октября 2020)
Свободные группы. Группы, заданные порождающими и определяющими соотношениями.
Домашнее задание: 61.27, 61.28, 61.29, 61.31, 61.32, 61.23 б, 61.33 а
Занятие №6 (9 октября 2020)
Прямые произведения групп
Домашнее задание: 60.2, 60.5 (в), 60.13, 60.14, 60.15, 60.45 (б)
Занятие №7 (17 октября 2020, дистанционно)
Конечно порожденные абелевы группы.
1) Циклические группы. Подгруппы циклических групп.
2) Основная теорема о конечно порожденных абелевых группах.
3) Разложение в прямую сумму циклических. Элементарные преобразования. Факторгруппы A/B
Домашнее задание:
1) 56.16
2) 60.39 (г,д,е), 60.40, 60.41, 60.42 (а,в,г), 60.44 (б,в), 60.43 (б)
3) 60.52 (б,в, г, з), 60.53, 60.54
Занятие №8 (20 октября 2020, дистанционно)
1) Группа гомоморфизмов абелевых групп. Кольцо эндоморфизмов абелевой группы
2) Действие группы на множестве. Орбита. Стабилизатор
Домашнее задание:
1) 60.20, 60.24 (б,в)
2) 57.1 (г)+ 57.2 (б), 57.3, 57.9 (б,в), 57.15
Занятие №9 (27 октября 2020, дистанционно)
1) Орбиты и стабилизатор
2) Силовские подгруппы
3) Простые группы
Домашнее задание:
1) 57.12 (в), 57.13 (в)
2) 59.20 (в), 59.5, 59.9 (б), 59.10, 59.23, 59.19
3) 59.22 (г,д)
Занятие №10 (3 ноября 2020)
Коммутатор. Коммутант. Кратные коммутанты. Разрешимые группы
Домашнее задание: 62.1(б,в), 62.8(б), 62.12(д),62.17, 62.18(г,д,е),
Занятие №13 (25 ноября 2020)
Кольца, поля. Идеалы. Факторкольца. Теорема о гомоморфизме колец
Домашнее задание:
1) повторение: 63.1, 63.2, 63.3, 63.11(а,г,з), 66.1
2) идеалы, факторкольца: 64.3, 64.4, 64.5, 64.6, 64.9, 64.37, 64.38, 64.39, 64.41 (в), 64.42, 64.55 (а)
Занятие №14 (1 декабря 2020)
Поля. Расширение полей
Домашнее задание: 66.2, 66.23, 66.18 (а), 67.3 (е),67.13(д)
Занятие №15 (8 декабря 2020)
Алгебры
Домашнее задание: 63.20, 63.21 (а)
Занятие №16,17 (15 декабря 2020)
Линейные представления. Инвариантные подпространства. Неприводимость. Вполне приводимость. Одномерные представления конечных групп. Число и размерность комплексных неприводимых представлений конечных групп.
Домашнее задание: 69.4 (в-е), 69.9, 69.5 (ж,з,и), 69.8, 69.2, 70.2 (д,ж,з), 70.6-9, 70.15, 70.16, 69.12, 70.10 (в), 70.34 (в,г,д), 70.37