Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- семинары_205_группа_осень_2021 [30.09.2021 11:04]
timashev
+++ семинары_205_группа_осень_2021 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 5: / Строка 5: @@
 Занятия проходят **по понедельникам** на **1**-й паре (9:00-10:35) в ауд. **439**.
-<fc #FF0000>**Объявление:**</fc> с **29 сентября** по **9 октября** занятия проходят **дистанционно**.
+Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И. Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★.
-[[https://us02web.zoom.us/j/87294971705?pwd=eitpaW5jb09adm5reGhQUG5KbVhOQT09|Ссылка]] на подключение к Zoom (<fc #FF0000>только</fc> для авторизованных студентов, код доступа 224895)
+== Расписание зачётов ==
-Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И. Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★.
+  * 20 декабря 2021, 15:00−19:00, ауд. 439
+  * 23 декабря 2021, 10:00−14:00, ауд. 439
+  * 28 декабря 2021, 15:00−19:00, ауд. 439
 ----
@@ Строка 50: / Строка 52: @@
   * 57.40, 58.43, 60.2бвг, 60.5ав, 60.7, 60.8б, 60.12;
   *★ доказать, что Aut(S_n)=Inn(S_n)≅S_n, кроме случаев n=2,6.
+----
+=== 4 октября 2021 ===
+Конечно порождённые и не конечно порождённые абелевы группы, примеры. Структура конечно порождённых абелевых групп, её определение, исходя из представления группы в виде факторгруппы свободной группы по подгруппе, заданной набором порождающих элементов, приведением целочисленной матрицы координат порождающих элементов подгруппы к "диагональному" виду. Вычисление порядка элемента в конечно порождённой абелевой группе, представленной как факторгруппа свободной группы.
+== Домашнее задание: ==
+  * 60.32, 60.50, 60.51, 60.52агд, 60.53, 60.54;
+  * Являются ли конечно порождёнными следующие группы:
+    - группа рациональных дробей m/n, у которых простые делители n содержатся среди {p_1,…,p_s}, с операцией сложения;
+    - группа рациональных дробей m/n≠0, у которых простые делители m и n содержатся среди {p_1,…,p_s}, с операцией  умножения;
+  * доказать две формулы для объёма целочисленного n-мерного параллелепипеда П:
+    - vol(П) = число целых точек в П, не лежащих на его гранях, не содержащих данную вершину 0;
+    - vol(П) = ∑ (1/2^k)⋅(число целых точек внутри всех (n-k)-мерных граней П), где суммирование ведётся по k=0,1,…,n.
+----
+=== 11 октября 2021 ===
+Конечные абелевы группы, их структура, тип группы. Классификация конечных абелевых групп заданного порядка. Определение типа факторгруппы конечной (или конечно порождённой) абелевой группы. Вложимость конечных абелевых групп друг в друга. Количество подгрупп заданного порядка в данной конечной абелевой группе.
+== Домашнее задание: ==
+  * 60.39ежз, 60.40ав, 60.42, 60.43бв, 60.45.
+----
+=== 18 октября 2021 ===
+Действия групп на множествах, описание орбит и стабилизаторов. В подгруппе индекса n содержится нормальная подгруппа индекса, делящего n!. Пять правильных многогранников (платоновы тела), двойственность между ними. Группы движений двойственных многогранников совпадают.
+== Домашнее задание: ==
+  * 57.1абв, 57.2а, 57.3, 57.9бв, 57.12в, 57.13ав★, 58.37.
+----
+=== 1 ноября 2021 ===
+Теоретико-групповое определение и классификация правильных многогранников. Формула Бернсайда для числа орбит действия конечной группы на конечном множестве. Действие группы на себе сопряжениями: классы сопряжённости и централизаторы, число элементов в классе сопряжённости, формула классов.
+== Домашнее задание: ==
+  * 57.23б, 57.25, 57.31, 58.44;
+  * сколько существует различных игральных костей? (игральная кость — это кубик, на каждой грани которого написана цифра от 1 до 6, причём цифры могут повторяться);
+  * доказать формулу Эйлера для правильного многогранника с помощью формулы Бернсайда.
+----
+=== 8 ноября 2021 ===
+Коммутант группы, его свойства. Вычисление коммутанта группы G методом оценки сверху (ядро гомоморфизма G в абелеву группу) и снизу (подгруппа, порождённая некоторым количеством коммутаторов). Кратные коммутанты, разрешимые группы, критерий разрешимости (в терминах подгруппы и факторгруппы).
+== Домашнее задание: ==
+  * 62.7г, 62.8б, 62.11в, 62.13, 62.15, 58.38;
+  * доказать, что -E не является коммутатором в группе SL_2(**R**);
+  * вычислить производный ряд для группы, состоящей из невырожденных действительных матриц вида
+  * {{:staff:timashev:commutant.jpg|}}
+----
+=== 17 ноября 2021 ===
+Силовские подгруппы, теоремы Силова, примеры: силовские подгруппы в A_4, в GL_2(**Z**_p), в прямом произведении групп. Арифметика конечных групп: доказательство непростоты и разрешимости групп заданного порядка (80 и 12).
+== Домашнее задание: ==
+  * 59.3а, 59.4а, 59.13где, 59.15, 59.22ав, 59.24, 62.18вгде★;
+  * описать все силовские подгруппы в D_3×A_4.
+----
+=== 22 ноября 2021 ===
+Арифметика конечных групп: доказательство коммутативности групп заданного порядка (455). Полупрямое произведение групп, структура групп порядка pq (p,q — простые числа).  Классификация групп порядка ≤10.
+Линейные и матричные представления групп, в том числе представление в пространстве функций на множестве с действием группы. Приводимые, неприводимые и вполне приводимые представления, разложение в прямую сумму неприводимых представлений. Нахождение инвариантных подпространств и доказательство неприводимости.
+== Домашнее задание: ==
+  * 59.20вг, 69.2, 69.7, 69.9, 69.11;
+  * какие из групп в задаче 60.2 разложимы (нетривиальным образом) в полупрямое произведение?
+  * доказать, что любая неабелева группа порядка 8 изоморфна либо Q_8, либо D_4;
+  * разложить мономиальное представление группы A_n над полем **C** на неприводимые слагаемые.
+----
+=== 29 ноября 2021 ===
+Теорема Машке. Описание неприводимых комплексных представлений конечных абелевых групп (пример: V_4). Описание одномерных комплексных представлений конечных групп (пример: S_3×D_5). Факты о количестве и размерностях неприводимых комплексных представлений конечной группы. Описание всех неприводимых комплексных представлений группы D_n.
+== Домашнее задание: ==
+  * 70.2жз, 70.10, 70.34бге, 70.37б, 70.39;
+  * описать все одномерные комплексные представления группы A_4×D_4;
+  * описать все неприводимые комплексные представления групп Q_8 и A_4×**Z**_3.
+----
+=== 6 декабря 2021 ===
+Алгебры, структурные константы. Классификация двумерных комплексных алгебр с единицей. Идеалы, главные идеалы, кольца главных идеалов. Факторалгебры K[x]/(f), их свойства, вычисления в K[x]/(f). Присоединение корня, избавление от иррациональности в знаменателе. Минимальный многочлен.
+== Домашнее задание: ==
+  * 63.21б, 63.22а, 64.8б, 64.2а, 64.42, 67.3бгдеж, 67.12;
+  * представить выражение (a²-3a-1)/(a²+2a+1) в виде многочлена от a наименьшей возможной степени с рациональными коэффициентами, где a∈**C** — корень многочлена x³+x²+3x+4.
+----
+=== 13 декабря 2021 ===
+== Контрольная работа ==
+  - Вычисление факторгруппы свободной абелевой группы и нахождение в ней количества элементов заданного порядка (//1 вариант//) и порядка заданного элемента (//2 вариант//).
+  - Нахождение централизатора элемента группы подстановок и количества элементов в его классе сопряжённости (//1 вариант//); описание орбит действия группы на множестве (//2 вариант//).
+  - Доказательство коммутативности группы заданного порядка (//1 вариант//); описание силовских подгрупп в группе (//2 вариант//).
+  - Вычисление производного ряда группы (//1 вариант//); доказательство разрешимости группы заданного порядка (//2 вариант//).
+  - Описание одномерных комплексных представлений группы.
+  - Избавление от иррациональности в знаменателе выражения в поле, получаемом присоединением корня неприводимого многочлена к полю **Z**_2 (//1 вариант//) и **C** (//2 вариант//).