Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- семинары_205_группа_осень_2021 [08.11.2021 21:12]
timashev
+++ семинары_205_группа_осень_2021 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 4: / Строка 4: @@
 Занятия проходят **по понедельникам** на **1**-й паре (9:00-10:35) в ауд. **439**.
-**<fc #FF0000>Объявления:</fc>**
-  * **Коллоквиум** по алгебре пройдёт на семинаре **15 ноября** (понедельник, 1-я пара).
-  * **Дополнительный семинар** по алгебре пройдёт в среду **17 ноября** на **2**-й паре (10:45-12:20) в ауд. **439**.
 Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И. Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★.
+== Расписание зачётов ==
+  * 20 декабря 2021, 15:00−19:00, ауд. 439
+  * 23 декабря 2021, 10:00−14:00, ауд. 439
+  * 28 декабря 2021, 15:00−19:00, ауд. 439
 ----
@@ Строка 107: / Строка 109: @@
   * {{:staff:timashev:commutant.jpg|}}
+----
+=== 17 ноября 2021 ===
+Силовские подгруппы, теоремы Силова, примеры: силовские подгруппы в A_4, в GL_2(**Z**_p), в прямом произведении групп. Арифметика конечных групп: доказательство непростоты и разрешимости групп заданного порядка (80 и 12).
+== Домашнее задание: ==
+  * 59.3а, 59.4а, 59.13где, 59.15, 59.22ав, 59.24, 62.18вгде★;
+  * описать все силовские подгруппы в D_3×A_4.
+----
+=== 22 ноября 2021 ===
+Арифметика конечных групп: доказательство коммутативности групп заданного порядка (455). Полупрямое произведение групп, структура групп порядка pq (p,q — простые числа).  Классификация групп порядка ≤10.
+Линейные и матричные представления групп, в том числе представление в пространстве функций на множестве с действием группы. Приводимые, неприводимые и вполне приводимые представления, разложение в прямую сумму неприводимых представлений. Нахождение инвариантных подпространств и доказательство неприводимости.
+== Домашнее задание: ==
+  * 59.20вг, 69.2, 69.7, 69.9, 69.11;
+  * какие из групп в задаче 60.2 разложимы (нетривиальным образом) в полупрямое произведение?
+  * доказать, что любая неабелева группа порядка 8 изоморфна либо Q_8, либо D_4;
+  * разложить мономиальное представление группы A_n над полем **C** на неприводимые слагаемые.
+----
+=== 29 ноября 2021 ===
+Теорема Машке. Описание неприводимых комплексных представлений конечных абелевых групп (пример: V_4). Описание одномерных комплексных представлений конечных групп (пример: S_3×D_5). Факты о количестве и размерностях неприводимых комплексных представлений конечной группы. Описание всех неприводимых комплексных представлений группы D_n.
+== Домашнее задание: ==
+  * 70.2жз, 70.10, 70.34бге, 70.37б, 70.39;
+  * описать все одномерные комплексные представления группы A_4×D_4;
+  * описать все неприводимые комплексные представления групп Q_8 и A_4×**Z**_3.
+----
+=== 6 декабря 2021 ===
+Алгебры, структурные константы. Классификация двумерных комплексных алгебр с единицей. Идеалы, главные идеалы, кольца главных идеалов. Факторалгебры K[x]/(f), их свойства, вычисления в K[x]/(f). Присоединение корня, избавление от иррациональности в знаменателе. Минимальный многочлен.
+== Домашнее задание: ==
+  * 63.21б, 63.22а, 64.8б, 64.2а, 64.42, 67.3бгдеж, 67.12;
+  * представить выражение (a²-3a-1)/(a²+2a+1) в виде многочлена от a наименьшей возможной степени с рациональными коэффициентами, где a∈**C** — корень многочлена x³+x²+3x+4.
+----
+=== 13 декабря 2021 ===
+== Контрольная работа ==
+  - Вычисление факторгруппы свободной абелевой группы и нахождение в ней количества элементов заданного порядка (//1 вариант//) и порядка заданного элемента (//2 вариант//).
+  - Нахождение централизатора элемента группы подстановок и количества элементов в его классе сопряжённости (//1 вариант//); описание орбит действия группы на множестве (//2 вариант//).
+  - Доказательство коммутативности группы заданного порядка (//1 вариант//); описание силовских подгрупп в группе (//2 вариант//).
+  - Вычисление производного ряда группы (//1 вариант//); доказательство разрешимости группы заданного порядка (//2 вариант//).
+  - Описание одномерных комплексных представлений группы.
+  - Избавление от иррациональности в знаменателе выражения в поле, получаемом присоединением корня неприводимого многочлена к полю **Z**_2 (//1 вариант//) и **C** (//2 вариант//).