Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- семинары_205_группа_осень_2023 [07.10.2023 20:19]
timashev
+++ семинары_205_группа_осень_2023 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 4: / Строка 4: @@
 Занятия проходят **по субботам** на **2**-й паре (10:45-12:20) в ауд. **16-08**.
+== Расписание зачётов: ==
+  * 25 декабря 2023, 9:00−13:00, ауд. 436
+  * 27 декабря 2023, 9:00−13:00, ауд. 434
+  * 29 декабря 2023, 9:00−13:00, ауд. 436
+== Экзамен: ==
+  * 20 января 2024, 10:00, ауд. 13-02
 Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И. Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★.
@@ Строка 64: / Строка 73: @@
 == Домашнее задание: ==
-  * 60.32, 60.50, 60.51, 60.52агд, 60.53, 60.54.
+  * 60.32, 60.50, 60.51, 60.52агд, 60.53.
   * Доказать:
     - группа S_n порождена транспозицией (1,2) и циклом (1,2,…,n);
@@ Строка 72: / Строка 81: @@
     - группа рациональных дробей m/n, у которых простые делители n содержатся среди {p_1,…,p_s}, с операцией сложения;
     - группа рациональных дробей m/n≠0, у которых простые делители m и n содержатся среди {p_1,…,p_s}, с операцией  умножения.
-  * Пусть F — свободная абелева группа с базисом f_1,f_2,f_3, и H — её подгруппа, порождённая элементами h_1 = (8,4,-4), h_2 = (3,4,1), h_3 = (2,-4,-6) (элементы заданы своими координатами в базисе f_1,f_2,f_3). Для элемента f = (5,6,1) найти порядок смежного класса f+H в факторгруппе F/H.
+  * Пусть F — свободная абелева группа с базисом f_1, f_2, f_3, и H — её подгруппа, порождённая элементами h_1 = (8,4,-4), h_2 = (3,4,1), h_3 = (2,-4,-6) (элементы заданы своими координатами в базисе f_1, f_2, f_3). Для элемента f = (5,6,1) найти порядок смежного класса f+H в факторгруппе F/H.
+----
+=== 14 октября 2023 ===
+Конечные абелевы группы, их структура, тип группы. Классификация конечных абелевых групп заданного порядка. Определение типа факторгруппы конечной (или конечно порождённой) абелевой группы. Вложимость конечных абелевых групп друг в друга.
+== Домашнее задание: ==
+  * 60.39ежз, 60.40ав, 60.42, 60.43а, 60.45.
+----
+=== 21 октября 2023 ===
+Количество подгрупп заданного порядка в данной конечной абелевой группе. Действия групп на множествах, описание орбит и стабилизаторов. Действие группы на себе сопряжениями: классы сопряжённости и централизаторы, число элементов в классе сопряжённости.
+== Домашнее задание: ==
+  * 60.43бв, 57.1бв, 57.2, 57.9бв, 57.12в, 57.23б, 57.25, 57.31.
+----
+=== 28 октября 2023 ===
+Формула классов. Нетривиальность центра конечной p-группы. Группы порядка p^2 (p — простое число). Силовские подгруппы, теоремы Силова, примеры: силовские подгруппы в A_4, в GL_2(**Z**_p).
+== Домашнее задание: ==
+  * 58.44, 59.3а, 59.4а, 59.9, 59.13где, 59.15, 59.17;
+  *★ доказать, что существуют ровно две (с точностью до изоморфизма) неабелевы группы порядка p^3 (p — простое число);
+  * описать все силовские подгруппы в D_3×A_4.
+----
+=== 18 ноября 2023 ===
+Коммутант группы, его свойства. Вычисление коммутанта группы G методом оценки сверху (ядро гомоморфизма G в абелеву группу) и снизу (подгруппа, порождённая некоторым количеством коммутаторов). Кратные коммутанты, разрешимые группы, критерий разрешимости (в терминах подгруппы и факторгруппы).
+== Домашнее задание: ==
+  * 62.7бг, 62.8б, 62.10, 62.11в, 62.13, 62.20, 58.38;
+  * вычислить производный ряд для группы, состоящей из невырожденных действительных матриц вида
+  * {{:staff:timashev:commutant.jpg|}}
+----
+=== 25 ноября 2023 ===
+Арифметика конечных групп: доказательство непростоты, разрешимости и коммутативности групп заданного порядка.
+Линейные и матричные представления групп, в том числе мономиальное представление симметрической группы и представление в пространстве функций на множестве с действием группы.
+== Домашнее задание: ==
+  * 59.20вг, 59.22ав, 59.23, 59.24, 62.18вгде★, 69.7, 69.9.
+----
+=== 2 декабря 2023 ===
+Приводимые, неприводимые и вполне приводимые представления, разложение в прямую сумму неприводимых представлений (пример: разложение мономиального представления). Теорема Машке. Описание неприводимых комплексных представлений конечных абелевых групп (пример: V_4). Описание одномерных комплексных представлений конечных групп (примеры: S_n, S_3×D_5). Факты о количестве и размерностях неприводимых комплексных представлений конечной группы. Описание всех неприводимых комплексных представлений групп S_3 и S_4.
+== Домашнее задание: ==
+  * 70.2жз, 70.10, 70.34е, 70.37аб, 70.39;
+  * разложить мономиальное представление группы A_n над **C** в прямую сумму неприводимых представлений;
+  * описать все одномерные комплексные представления группы A_4×D_4;
+  * описать все неприводимые комплексные представления групп Q_8 и A_4.
+----
+=== 9 декабря 2023 ===
+Кольца, алгебры, структурные константы. Классификация двумерных комплексных алгебр с единицей. Идеалы, главные идеалы, кольца главных идеалов. Факторалгебры K[x]/(f), их свойства, вычисления в K[x]/(f). Присоединение корня, избавление от иррациональности в знаменателе.
+== Домашнее задание: ==
+  * 63.21б, 63.22а, 64.2, 64.8б, 64.43, 67.12★;
+  * представить выражение (a²-3a-1)/(a²+2a+1) в виде многочлена от a наименьшей возможной степени с рациональными коэффициентами, где a∈**C** — корень многочлена x³+x²+3x+4.
+----
+=== 16 декабря 2023 ===
+== Контрольная работа ==
+  - Вычисление факторгруппы свободной абелевой группы и нахождение в ней порядка заданного элемента (//1 вариант//) и количества элементов заданного порядка (//2 вариант//).
+  - Нахождение централизатора элемента группы подстановок и количества элементов в его классе сопряжённости (//1 вариант//); описание орбит действия группы на множестве (//2 вариант//).
+  - Доказательство коммутативности группы заданного порядка (//1 вариант//); описание силовских подгрупп в группе (//2 вариант//).
+  - Вычисление производного ряда группы (//1 вариант//); доказательство разрешимости группы заданного порядка (//2 вариант//).
+  - Описание одномерных комплексных представлений группы.
+  - Избавление от иррациональности в знаменателе выражения в поле, получаемом присоединением корня неприводимого многочлена к полю **Z**_3 (//1 вариант//) и **C** (//2 вариант//).