| Предыдущая версия справа и слева
Предыдущая версия
Следующая версия
|
Предыдущая версия
|
семинары_205_группа_осень_2024 [23.10.2024 11:41]
timashev |
семинары_205_группа_осень_2024 [08.04.2025 16:43] (текущий)
|
| Занятия проходят **по понедельникам** на каждой //нечётной// неделе на **1**-й паре (9:00-10:35) в ауд. **14-14** и **по средам** на каждой //чётной// неделе на **2**-й паре (10:45-12:20) в ауд. **406**. | Занятия проходят **по понедельникам** на каждой //нечётной// неделе на **1**-й паре (9:00-10:35) в ауд. **14-14** и **по средам** на каждой //чётной// неделе на **2**-й паре (10:45-12:20) в ауд. **406**. |
| |
| <fc #FF0000>**Объявление:**</fc> **коллоквиум по алгебре** пройдёт на семинаре в понедельник <fc #FF0000>11 ноября</fc>. | == Расписание зачётов: == |
| | |
| | * 19 декабря 2024, 13:00−16:00, ауд. 438 |
| | * 25 декабря 2024, 13:00−16:00, ауд. 453 |
| | * 28 декабря 2024, 13:00−16:00, ауд. 14-03 |
| | |
| | == Экзамен: == |
| | * 20 января 2025, 10:00, ауд. 16-10 |
| | |
| | == Консультация: == |
| | * 18 января 2025, 14:00, ауд. 13-20 |
| |
| Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И. Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★. | Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И. Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★. |
| === 2 сентября 2024 === | === 2 сентября 2024 === |
| |
| Группы (напоминание из 1-го семестра): определение, единственность нейтрального и обратного элементов в группе, абелевы группы, мультипликативная и аддитивная терминологии. Примеры групп: аддитивные и мультипликативные группы колец и полей, матричные и линейные группы, группы движений (в т.ч. группа диэдра D_n), группы подстановок (симметрическая группа S_n и знакопеременная группа A_n). Задание конечной группы таблицей умножения, примеры: группа Клейна V_4 и группа кватернионов Q_8. Изоморфизм групп, примеры изоморфных и неизоморфных групп: аддитивная и мультипликативная группы поля **R**, а также группа положительных вещественных чисел по умножению; Z_6, S_3 и D_3; Z_4 и V_4. Порядок элемента группы, его свойства, циклические подгруппы. | Группы (напоминание из 1-го семестра): определение, единственность нейтрального и обратного элементов в группе, абелевы группы, мультипликативная и аддитивная терминологии. Примеры групп: аддитивные и мультипликативные группы колец и полей, матричные и линейные группы, группы движений (в т.ч. группа диэдра D<sub>n</sub>), группы подстановок (симметрическая группа S<sub>n</sub> и знакопеременная группа A<sub>n</sub>). Задание конечной группы таблицей умножения, примеры: группа Клейна V<sub>4</sub> и группа кватернионов Q<sub>8</sub>. Изоморфизм групп, примеры изоморфных и неизоморфных групп: аддитивная и мультипликативная группы поля **R**, а также группа положительных вещественных чисел по умножению; Z<sub>6</sub>, S<sub>3</sub> и D<sub>3</sub>; Z<sub>4</sub> и V<sub>4</sub>. Порядок элемента группы, его свойства, циклические подгруппы. |
| |
| == Домашнее задание: == | == Домашнее задание: == |
| * 55.16, 55.25абг, 55.26, 56.7, 56.10, 56.11; | * 55.16, 55.25абг, 55.26, 56.7, 56.10, 56.11; |
| * какие из групп изоморфны: аддитивная группа поля рациональных чисел, его мультипликтивная группа, группа положительных рациональных чисел (по умножению)? | * какие из групп изоморфны: аддитивная группа поля рациональных чисел, его мультипликтивная группа, группа положительных рациональных чисел (по умножению)? |
| * изоморфны ли группы GL_2(**C**) и GL_3(**C**)? | * изоморфны ли группы GL<sub>2</sub>(**C**) и GL<sub>3</sub>(**C**)? |
| |
| ---- | ---- |
| === 11 сентября 2024 === | === 11 сентября 2024 === |
| |
| Теорема Лагранжа и её следствия о порядках элементов в конечных группах. Проблема классификации конечных групп, группы простого порядка. Сопряжённость элементов в группе, классы сопряжённости, центр группы. Вычисление классов сопряженности и центра для групп Q_8, S_n, D_n. | Теорема Лагранжа и её следствия о порядках элементов в конечных группах. Проблема классификации конечных групп, группы простого порядка. Сопряжённость элементов в группе, классы сопряжённости, центр группы. Вычисление классов сопряженности и центра для групп Q<sub>8</sub>, S<sub>n</sub>, D<sub>n</sub>. |
| |
| == Домашнее задание: == | == Домашнее задание: == |
| * доказать, что любая группа порядка 4 изоморфна либо **Z**_4 либо V_4; | * доказать, что любая группа порядка 4 изоморфна либо **Z**<sub>4</sub> либо V<sub>4</sub>; |
| *★ доказать, что любая группа порядка 6 изоморфна либо **Z**_6 либо S_3; | *★ доказать, что любая группа порядка 6 изоморфна либо **Z**<sub>6</sub> либо S<sub>3</sub>; |
| * 57.29, 57.30б, 57.36, 58.20бв, 58.23, 58.24агж. | * 57.29, 57.30б, 57.36, 58.20бв, 58.23, 58.24агж. |
| |
| === 16 сентября 2024 === | === 16 сентября 2024 === |
| |
| Нормальные подгруппы, их перечисление в группах S_3, S_4. Факторгруппы. Основная теорема о гомоморфизмах, вычисление факторгрупп с её помощью. | Нормальные подгруппы, их перечисление в группах S<sub>3</sub>, S<sub>4</sub>. Факторгруппы. Основная теорема о гомоморфизмах, вычисление факторгрупп с её помощью. |
| |
| == Домашнее задание: == | == Домашнее задание: == |
| === 25 сентября 2024 === | === 25 сентября 2024 === |
| |
| Автоморфизмы групп, группа автоморфизмов циклической группы, вычисление Aut(Aut(Aut **Z**_9)). Группа внутренних автоморфизмов Inn(G), её нормальность в Aut(G). Прямое произведение (прямая сумма) групп, примеры разложений и неразложимости групп в прямые произведения (прямые суммы). | Автоморфизмы групп, группа автоморфизмов циклической группы, вычисление Aut(Aut(Aut **Z**<sub>9</sub>)). Группа внутренних автоморфизмов Inn(G), её нормальность в Aut(G). Прямое произведение (прямая сумма) групп, примеры разложений и неразложимости групп в прямые произведения (прямые суммы). |
| |
| == Домашнее задание: == | == Домашнее задание: == |
| * 57.39а, 57.40, 57.41б, 58.43, 60.1, 60.2бг, 60.7, 60.8; | * 57.39а, 57.40, 57.41б, 58.43, 60.1, 60.2бг, 60.7, 60.8; |
| *★ доказать, что Aut(S_n) = Inn(S_n), кроме случая n=6. | *★ доказать, что Aut(S<sub>n</sub>) = Inn(S<sub>n</sub>), кроме случая n=6. |
| |
| ---- | ---- |
| * 60.32, 60.50, 60.51, 60.52агд, 60.53. | * 60.32, 60.50, 60.51, 60.52агд, 60.53. |
| * Доказать: | * Доказать: |
| - группа S_n порождена транспозицией (1,2) и циклом (1,2,…,n); | - группа S<sub>n</sub> порождена транспозицией (1,2) и циклом (1,2,…,n); |
| - группа A_n порождена парами независимых транспозиций при n ≥ 5; | - группа A<sub>n</sub> порождена парами независимых транспозиций при n ≥ 5; |
| - группа B_n(K) невырожденных верхнетреугольных матриц порождена элементарными матрицами 1-го и 3-го типов. | - группа B<sub>n</sub>(K) невырожденных верхнетреугольных матриц порождена элементарными матрицами 1-го и 3-го типов. |
| * Являются ли конечно порождёнными следующие группы: | * Являются ли конечно порождёнными следующие группы: |
| - группа рациональных дробей m/n, у которых простые делители n содержатся среди {p_1,…,p_s}, с операцией сложения; | - группа рациональных дробей m/n, у которых простые делители n содержатся среди {p<sub>1</sub>,…,p<sub>s</sub>}, с операцией сложения; |
| - группа рациональных дробей m/n≠0, у которых простые делители m и n содержатся среди {p_1,…,p_s}, с операцией умножения. | - группа рациональных дробей m/n≠0, у которых простые делители m и n содержатся среди {p<sub>1</sub>,…,p<sub>s</sub>}, с операцией умножения. |
| |
| ---- | ---- |
| == Домашнее задание: == | == Домашнее задание: == |
| * 60.5в, 60.39ежз, 60.40ав, 60.42, 60.43а; | * 60.5в, 60.39ежз, 60.40ав, 60.42, 60.43а; |
| * доказать, что группу **Z**_{p^k} нельзя разложить в прямую сумму нетривиальных подгрупп; | * доказать, что группу **Z**<sub>p<sup>k</sup></sub> нельзя разложить в прямую сумму нетривиальных подгрупп; |
| * доказать формулу для объёма целочисленного n-мерного параллелепипеда П: | * доказать формулу для объёма целочисленного n-мерного параллелепипеда П: |
| * vol(П) = ∑ (1/2^k)⋅(число целых точек внутри всех (n-k)-мерных граней П), где суммирование ведётся по k=0,1,…,n; | * vol(П) = ∑ (1/2<sup>k</sup>)⋅(число целых точек внутри всех (n-k)-мерных граней П), где суммирование ведётся по k=0,1,…,n; |
| * доказать формулу Пика для площади целочисленного многоугольника P: | * доказать формулу Пика для площади целочисленного многоугольника P: |
| * S(P) = (число целых точек внутри P) + ½ · (число целых точек на границе P) - 1. | * S(P) = (число целых точек внутри P) + ½ · (число целых точек на границе P) - 1. |
| == Домашнее задание: == | == Домашнее задание: == |
| * 57.13в★, 57.23б, 57.25, 57.28, 57.31, 58.35, 58.44; | * 57.13в★, 57.23б, 57.25, 57.28, 57.31, 58.35, 58.44; |
| * ★ классифицировать группы порядка p^3 (p — простое число) с точностью до изоморфизма. | * ★ перечислить с точностью до изоморфизма все группы порядка p<sup>3</sup> (p — простое число). |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 28 октября 2024 === |
| | |
| | Коммутант группы, его свойства. Вычисление коммутанта группы G методом оценки сверху (ядро гомоморфизма G в абелеву группу) и снизу (подгруппа, порождённая некоторым количеством коммутаторов). Кратные коммутанты, разрешимые группы, критерий разрешимости (в терминах подгруппы и факторгруппы). |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 62.7бг, 62.8б, 62.10, 62.11в, 62.13, 62.20; |
| | * вычислить производный ряд для группы, состоящей из невырожденных действительных матриц вида |
| | * {{:staff:timashev:commutant.jpg|}} |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 6 ноября 2024 === |
| | |
| | Силовские подгруппы, теоремы Силова, примеры: силовские подгруппы в A<sub>4</sub>, в SL<sub>2</sub>(**Z**<sub>p</sub>), в прямом произведении групп. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 59.3а, 59.4а, 59.9, 59.11, 59.13где, 59.14, 59.15; |
| | * описать все силовские 3-подгруппы в D<sub>3</sub>×A<sub>4</sub>. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 11 ноября 2024 === |
| | |
| | [[https://disk.yandex.ru/i/Jsl4c7gl5q5LxA|Коллоквиум]] |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 20 ноября 2024 === |
| | |
| | Арифметика конечных групп: доказательство непростоты, разрешимости и коммутативности групп заданного порядка. Полупрямое произведение групп, пример: D<sub>n</sub>. Классификация групп порядка ≤10. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 59.20вг, 59.22ав, 59.23, 59.24, 62.18вгде★, 62.22★, 62.23★; |
| | * какие из групп в задаче 60.2 разложимы (нетривиальным образом) в полупрямое произведение? |
| | * доказать, что любая неабелева группа порядка 8 изоморфна либо Q<sub>8</sub>, либо D<sub>4</sub>. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 4 декабря 2024 === |
| | |
| | Линейные и матричные представления групп, в том числе мономиальное представление симметрической группы и представление в пространстве функций на множестве с действием группы. Приводимые, неприводимые и вполне приводимые представления, разложение в прямую сумму неприводимых представлений. Теорема Машке. Описание неприводимых комплексных представлений конечных абелевых групп (пример: V<sub>4</sub>). Описание одномерных комплексных представлений конечных групп (примеры: S<sub>n</sub>, S<sub>3</sub>×D<sub>5</sub>). |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 69.2, 69.6, 69.7, 69.9, 69.11, 70.2жз, 70.10; |
| | * описать все одномерные комплексные представления группы A<sub>4</sub>×D<sub>4</sub>. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 9 декабря 2024 === |
| | |
| | Факты о количестве и размерностях неприводимых комплексных представлений конечной группы. Описание всех неприводимых комплексных представлений группы D<sub>n</sub>. |
| | |
| | Кольца, алгебры, идеалы, факторкольца и факторалгебры. Факторалгебры K[x]/p·K[x], их свойства, вычисления в K[x]/p·K[x]. Присоединение корня, избавление от иррациональности в знаменателе. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 70.34е, 70.37аб, 70.39, 63.21, 64.8, 64.43; |
| | * описать все неприводимые комплексные представления групп Q<sub>8</sub> и A<sub>4</sub>. |
| | * представить выражение (a²-3a-1)/(a²+2a+1) в виде многочлена от a наименьшей возможной степени с рациональными коэффициентами, где a∈**C** — корень многочлена x³+x²+3x+4. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 14 декабря 2024 === |
| | |
| | == Контрольная работа == |
| | - Вычисление факторгруппы свободной абелевой группы и нахождение в ней количества элементов заданного порядка (//1 вариант//) и порядка заданного элемента (//2 вариант//). |
| | - Нахождение централизатора элемента группы подстановок и количества элементов в его классе сопряжённости (//1 вариант//); описание орбит действия группы на множестве (//2 вариант//). |
| | - Доказательство коммутативности группы заданного порядка (//1 вариант//); описание силовских подгрупп в группе (//2 вариант//). |
| | - Вычисление производного ряда группы (//1 вариант//); доказательство разрешимости группы заданного порядка (//2 вариант//). |
| | - Описание одномерных комплексных представлений группы. |
| | - Избавление от иррациональности в знаменателе выражения в поле, получаемом присоединением корня неприводимого многочлена к полю **Z**<sub>2</sub> (//1 вариант//) и **Q** (//2 вариант//). |
