Преподаватель: Д.А. Тимашёв

Занятия проходят по понедельникам на каждой нечётной неделе на 1-й паре (9:00-10:35) в ауд. 14-14 и по средам на каждой чётной неделе на 2-й паре (10:45-12:20) в ауд. 406.

Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И. Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★.

Группы (напоминание из 1-го семестра): определение, единственность нейтрального и обратного элементов в группе, абелевы группы, мультипликативная и аддитивная терминологии. Примеры групп: аддитивные и мультипликативные группы колец и полей, матричные и линейные группы, группы движений (в т.ч. группа диэдра D_n), группы подстановок (симметрическая группа S_n и знакопеременная группа A_n). Задание конечной группы таблицей умножения, примеры: группа Клейна V_4 и группа кватернионов Q_8. Изоморфизм групп, примеры изоморфных и неизоморфных групп: аддитивная и мультипликативная группы поля R, а также группа положительных вещественных чисел по умножению; Z_6, S_3 и D_3; Z_4 и V_4. Порядок элемента группы, его свойства, циклические подгруппы.

• 55.16, 55.25абг, 55.26, 56.7, 56.10, 56.11;
• какие из групп изоморфны: аддитивная группа поля рациональных чисел, его мультипликтивная группа, группа положительных рациональных чисел (по умножению)?
• изоморфны ли группы GL_2(C) и GL_3(C)?

Теорема Лагранжа и её следствия о порядках элементов в конечных группах. Проблема классификации конечных групп, группы простого порядка. Сопряжённость элементов в группе, классы сопряжённости, центр группы. Вычисление классов сопряженности и центра для групп Q_8, S_n, D_n.

• доказать, что любая группа порядка 4 изоморфна либо Z_4 либо V_4;
• ★ доказать, что любая группа порядка 6 изоморфна либо Z_6 либо S_3;
• 57.29, 57.30б, 57.36, 58.20бв, 58.23, 58.24агж.

Нормальные подгруппы, их перечисление в группах S_3, S_4. Факторгруппы. Основная теорема о гомоморфизмах, вычисление факторгрупп с её помощью.

• 58.1абд, 58.3, 58.4б, 58.10, 58.11а, 58.32бде, 58.33аге, 58.39.

Автоморфизмы групп, группа автоморфизмов циклической группы, вычисление Aut(Aut(Aut Z_9)). Группа внутренних автоморфизмов Inn(G), её нормальность в Aut(G). Прямое произведение (прямая сумма) групп, примеры разложений и неразложимости групп в прямые произведения (прямые суммы).

• 57.39а, 57.40, 57.41б, 58.43, 60.1, 60.2бг, 60.7, 60.8;
• ★ доказать, что Aut(S_n) = Inn(S_n), кроме случая n=6.

Системы порождающих в группе, конечно порождённые и не конечно порождённые группы, примеры. Случай абелевых групп, свободные конечно порождённые группы. Структура конечно порождённых абелевых групп, её определение, исходя из представления группы в виде факторгруппы свободной группы по подгруппе, заданной набором порождающих элементов, приведением целочисленной матрицы координат порождающих элементов подгруппы к «диагональному» виду. Вычисление порядка элемента в конечно порождённой абелевой группе, представленной как факторгруппа свободной группы.

• 60.32, 60.50, 60.51, 60.52агд, 60.53.
• Доказать:
  1. группа S_n порождена транспозицией (1,2) и циклом (1,2,…,n);
  2. группа A_n порождена парами независимых транспозиций при n ≥ 5;
  3. группа B_n(K) невырожденных верхнетреугольных матриц порождена элементарными матрицами 1-го и 3-го типов.
• Являются ли конечно порождёнными следующие группы:
  1. группа рациональных дробей m/n, у которых простые делители n содержатся среди {p_1,…,p_s}, с операцией сложения;
  2. группа рациональных дробей m/n≠0, у которых простые делители m и n содержатся среди {p_1,…,p_s}, с операцией умножения.