• Показать страницу
  • История страницы
  • Ссылки сюда

    • Различия

    Показаны различия между двумя версиями страницы.

    Ссылка на это сравнение

    Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
    Следующая версия     		Предыдущая версия
    семинары_205_группа_осень_2025 [02.09.2025 15:42]
    timashev     		семинары_205_группа_осень_2025 [24.11.2025 18:06] (текущий)
    timashev
    Строка 3: Строка 3:
     **Преподаватель:** [[staff:timashev|Д.А. Тимашёв]] **Преподаватель:** [[staff:timashev|Д.А. Тимашёв]]
      
    -Занятия проходят **по понедельникам** на **1**-й паре (9:00-10:35) в ауд. **14-05**.+Занятия проходят **по понедельникам** на **1**-й паре (9:00-10:35) в ауд. <del>14-05</del> <color #ed1c24>**15-03**</color>. 
     + 
     +<color #ed1c24>**Объявления:**</color>  
     +  * <color #ed1c24>пересдача коллоквиума</color> по алгебре пройдёт в четверг **27 ноября** на **5**-й паре (16:45-18:20), ауд. **16-04**; 
     +  * занятие с понедельника **1 декабря** <color #ed1c24>переносится</color> на четверг **11 декабря**, **1**-я пара (9:00-10:35).
      
     Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И. Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★. Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И. Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★.
    Строка 18: Строка 22:
       * изоморфны ли группы GL<sub>2</sub>(**C**) и GL<sub>3</sub>(**C**)?   * изоморфны ли группы GL<sub>2</sub>(**C**) и GL<sub>3</sub>(**C**)?
      
     +----
     +
     +=== 8 сентября 2025 ===
     +
     +Теорема Лагранжа и её следствия о порядках элементов в конечных группах. Проблема классификации конечных групп, группы простого порядка. Сопряжённость элементов в группе, классы сопряжённости, центр группы. Вычисление классов сопряженности и центра для групп Q<sub>8</sub> и S<sub>n</sub>.
     +
     +== Домашнее задание: ==
     +  * доказать, что любая группа порядка 4 изоморфна либо **Z**<sub>4</sub> либо V<sub>4</sub>;
     +  *★ доказать, что любая группа порядка 6 изоморфна либо **Z**<sub>6</sub> либо S<sub>3</sub>;
     +  * описать классы сопряжённости в группе D<sub>n</sub>.
     +  * 57.29, 57.30б, 57.36, 58.20бв, 58.23, 58.24агж.
     +
     +----
     +
     +=== 15 сентября 2025 ===
     +
     +Вычисление классов сопряженности и центра для группы D<sub>n</sub>. Нормальные подгруппы, их перечисление в группах S<sub>3</sub> и S<sub>4</sub>.
     +
     +== Домашнее задание: ==
     +  * 58.1абд, 58.2, 58.3, 58.4б, 58.10, 58.11а, 58.12.
     +
     +----
     +
     +=== 22 сентября 2025 ===
     +
     +Факторгруппы. Гомоморфизмы, их ядра и образы. Основная теорема о гомоморфизмах, вычисление факторгрупп с её помощью. Автоморфизмы групп, группа внутренних автоморфизмов Inn(G), её нормальность в Aut(G), группа внешних автоморфизмов Out(G). Автоморфизмы циклических групп, вычисление Aut(Aut(Aut **Z**<sub>9</sub>)).
     +
     +== Домашнее задание: ==
     +  * 57.39а, 57.40, 57.41б, 57.45, 58.32де, 58.33ге, 58.41;
     +  *★ доказать, что Aut(S<sub>n</sub>) = Inn(S<sub>n</sub>) ≅ S<sub>n</sub>, кроме случаев n=2,6.
     +
     +----
     +
     +=== 29 сентября 2025 ===
     +
     +Прямое произведение (прямая сумма) групп, примеры разложений и неразложимости групп в прямые произведения (прямые суммы). Разложение конечной циклической группы в прямую сумму.
     +
     +== Домашнее задание: ==
     +  * 60.2бг, 60.5, 60.7, 60.8, 60.12.
     +
     +----
     +
     +=== 6 октября 2025 ===
     +
     +Системы порождающих в группе, конечно порождённые и не конечно порождённые группы, примеры. Случай абелевых групп, свободные конечно порождённые группы. Структура конечно порождённых абелевых групп, её определение, исходя из представления группы в виде факторгруппы свободной группы по подгруппе, заданной набором порождающих элементов, приведением целочисленной матрицы координат порождающих элементов подгруппы к "диагональному" виду. Вычисление порядка элемента в конечно порождённой абелевой группе, представленной как факторгруппа свободной группы.
     +
     +== Домашнее задание: ==
     +  * 60.32, 60.50, 60.51, 60.52агд, 60.53.
     +  * Доказать:
     +    - группа S<sub>n</sub> порождена транспозицией (1,2) и циклом (1,2,…,n);
     +    - группа A<sub>n</sub> порождена парами независимых транспозиций при n ≥ 5;
     +    - группа B<sub>n</sub>(K) невырожденных верхнетреугольных матриц порождена элементарными матрицами 1-го и 3-го типов.
     +  * Являются ли конечно порождёнными следующие группы:
     +    - группа рациональных дробей m/n, у которых простые делители n содержатся среди {p<sub>1</sub>,…,p<sub>s</sub>}, с операцией сложения; 
     +    - группа рациональных дробей m/n≠0, у которых простые делители m и n содержатся среди {p<sub>1</sub>,…,p<sub>s</sub>}, с операцией умножения.
     +
     +----
     +
     +=== 13 октября 2025 ===
     +
     +Конечные абелевы группы, их структура, тип группы. Классификация конечных абелевых групп заданного порядка. Определение типа факторгруппы конечной (или конечно порождённой) абелевой группы. Вложимость конечных абелевых групп друг в друга.
     +
     +== Домашнее задание: ==
     +  * 60.39ежз, 60.40ав, 60.42, 60.43а, 60.45.
     +
     +----
     +
     +=== 20 октября 2025 ===
     +
     +Количество подгрупп заданного порядка в данной конечной абелевой группе. Действия групп на множествах, описание орбит и стабилизаторов. Порядок орбиты конечной группы. Группа вращений куба.
     +
     +== Домашнее задание: ==
     +  * 60.43бв, 57.1абв, 57.2а, 57.3, 57.9бв, 57.12бв, 57.13ав★.
     +
     +----
     +
     +=== 27 октября 2025 ===
     +
     +Действие группы на себе сопряжениями: классы сопряжённости и централизаторы, число элементов в классе сопряжённости. Силовские подгруппы, теоремы Силова, примеры: силовские подгруппы в A<sub>4</sub>, в SL<sub>2</sub>(**Z**<sub>p</sub>), в прямом произведении групп.
     +
     +== Домашнее задание: ==
     +  * 57.23б, 57.25, 57.31, 59.3а, 59.4а, 59.9, 59.13где, 59.15;
     +  * описать все силовские подгруппы в D<sub>3</sub>×A<sub>4</sub>.
     +
     +----
     +
     +=== 1 ноября 2025 ===
     +
     +Коммутант группы, его свойства. Вычисление коммутанта группы G методом оценки сверху (ядро гомоморфизма G в абелеву группу) и снизу (подгруппа, порождённая некоторым количеством коммутаторов). Кратные коммутанты, разрешимые группы, критерий разрешимости (в терминах подгруппы и факторгруппы).
     +
     +== Домашнее задание: ==
     +  * 62.1в, 62.7г, 62.8б, 62.10, 62.11в, 62.21, 58.38;
     +  * вычислить производный ряд для группы, состоящей из невырожденных действительных матриц вида
     +  * {{:staff:timashev:commutant.jpg|}}
     +
     +----
     +
     +=== 10 ноября 2025 ===
     +
     +Арифметика конечных групп: доказательство непростоты, разрешимости и коммутативности групп заданного порядка.
     +
     +== Домашнее задание: ==
     +  * 59.20вг, 59.22ав, 59.23, 59.24, 62.18вгде★, 62.22★, 62.23★
     +
     +----
     +
     +=== 17 ноября 2025 ===
     +
     +{{:kol-o25.pdf|Коллоквиум}}
     +
     +----
     +
     +=== 24 ноября 2025 ===
     +
     +Кольца, алгебры, структурные константы. Алгебра кватернионов. Классификация двумерных комплексных алгебр с единицей. Идеалы, главные идеалы, кольца главных идеалов.
     +
     +== Домашнее задание: ==
     +  * 63.21б, 63.22а, 63.23, 64.2б, 64.8б.
    семинары_205_группа_осень_2025.1756816952.txt.gz · Последнее изменение: 02.09.2025 15:42 — timashev

  • Показать страницу
  • История страницы
  • Ссылки сюда
  • Недавние изменения