Преподаватель: Д.А. Тимашёв

Занятия проходят по пятницам на 2-й паре (10:45-12:20) в ауд. 14-04.

Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И. Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★.

Группы (напоминание из 1-го семестра): определение, единственность нейтрального и обратного элементов, абелевы группы, мультипликативная и аддитивная терминологии. Примеры групп: аддитивные и мультипликативные группы колец и полей, матричные и линейные группы, группы движений (в т.ч. группа диэдра $D_n$ и подгруппа поворотов $R_n$), группы подстановок (симметрическая группа $S_n$ и знакопеременная группа $A_n$). Задание конечной группы таблицей умножения, пример: группа Клейна $V_4$. Изоморфизм групп, примеры изоморфных и неизоморфных групп: группа вычетов $\mathbb{Z}_n$, группа корней из единицы $\mathbb{U}_n$ и группа поворотов $R_n$; $\mathbb{Z}_6$, $S_3$ и $D_3$, аддитивная и мультипликативная группы поля $\mathbb{R}$, а также группа положительных вещественных чисел по умножению; $\mathbb{Z}_4$ и $V_4$. Порядок элемента группы, его свойства, циклические подгруппы.

• 55.16, 55.25абг, 55.26, 56.7в, 56.10, 56.11;
• какие из групп изоморфны: аддитивная группа поля рациональных чисел, его мультипликативная группа, группа положительных рациональных чисел (по умножению)?
• изоморфны ли группы $GL_2(\mathbb{C})$ и $GL_3(\mathbb{C})$?

Теорема Лагранжа и её следствия о порядках элементов в конечных группах. Проблема классификации конечных групп, группы простого порядка. Сопряжённость элементов в группе, классы сопряжённости, центр группы. Вычисление классов сопряженности и центра для групп $Q_8$, $S_n$, $D_n$.

• доказать, что любая группа порядка 4 изоморфна либо $\mathbb{Z}_4$, либо $V_4$;
• ★ доказать, что любая группа порядка 6 изоморфна либо $\mathbb{Z}_6$, либо $S_3$;
• 57.29, 57.30б, 57.36, 58.20бв, 58.23, 58.24агж.

Нормальные подгруппы, их перечисление в группах $S_3$ и $S_4$. Факторгруппы, вычисление по определению: $\mathbb{U}_{12}/\mathbb{U}_3$.

• 58.1абд, 58.2, 58.3, 58.4б, 58.10, 58.11а, 58.12, 58.41.