Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- семинары_205_группа_осень_2026 [01.09.2026 13:30]
timashev создано
+++ семинары_205_группа_осень_2026 [16.10.2026 17:32] (текущий)
timashev
@@ Строка 6: / Строка 6: @@
 Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И. Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★.
+----
+=== 4 сентября 2026 ===
+Группы (напоминание из 1-го семестра): определение, единственность нейтрального и обратного элементов, абелевы группы, мультипликативная и аддитивная терминологии. Примеры групп: аддитивные и мультипликативные группы колец и полей, матричные и линейные группы, группы движений (в т.ч. группа диэдра $D_n$ и подгруппа поворотов $R_n$), группы подстановок (симметрическая группа $S_n$ и знакопеременная группа $A_n$). Задание конечной группы таблицей умножения, пример: группа Клейна $V_4$. Изоморфизм групп, примеры изоморфных и неизоморфных групп: группа вычетов $\mathbb{Z}_n$, группа корней из единицы $\mathbb{U}_n$ и группа поворотов $R_n$; $\mathbb{Z}_6$, $S_3$ и $D_3$, аддитивная и мультипликативная группы поля $\mathbb{R}$, а также группа положительных вещественных чисел по умножению; $\mathbb{Z}_4$ и $V_4$. Порядок элемента группы, его свойства, циклические подгруппы.
+== Домашнее задание: ==
+  * 55.16, 55.25абг, 55.26, 56.7в, 56.10, 56.11;
+  * какие из групп изоморфны: аддитивная группа поля рациональных чисел, его мультипликативная группа, группа положительных рациональных чисел (по умножению)?
+  * изоморфны ли группы $GL_2(\mathbb{C})$ и $GL_3(\mathbb{C})$?
+----
+=== 11 сентября 2026 ===
+Теорема Лагранжа и её следствия о порядках элементов в конечных группах. Проблема классификации конечных групп, группы простого порядка. Сопряжённость элементов в группе, классы сопряжённости, центр группы. Вычисление классов сопряженности и центра для групп $Q_8$, $S_n$, $D_n$.
+== Домашнее задание: ==
+  * доказать, что любая группа порядка 4 изоморфна либо $\mathbb{Z}_4$, либо $V_4$;
+  *★ доказать, что любая группа порядка 6 изоморфна либо $\mathbb{Z}_6$, либо $S_3$;
+  * 57.29, 57.30б, 57.36, 58.20бв, 58.23, 58.24агж.
+----
+=== 18 сентября 2026 ===
+Нормальные подгруппы, их перечисление в группах $S_3$ и $S_4$. Факторгруппы, вычисление по определению: $\mathbb{U}_{12}/\mathbb{U}_3$.
+== Домашнее задание: ==
+  * 58.1абд, 58.2, 58.3, 58.4б, 58.10, 58.11а, 58.12, 58.41.
+----
+=== 25 сентября 2026 ===
+Гомоморфизмы, их ядра и образы. Основная теорема о гомоморфизмах, вычисление факторгрупп с её помощью. Автоморфизмы групп, группа внутренних автоморфизмов $\operatorname{Inn}(G)$, её нормальность в $\operatorname{Aut}(G)$, группа внешних автоморфизмов $\operatorname{Out}(G)$. Автоморфизмы циклических групп, вычисление $\operatorname{Aut}(\operatorname{Aut}(\operatorname{Aut}\mathbb{Z}_9))$.
+== Домашнее задание: ==
+  * 58.32аде, 58.33гд, 58.43, 57.39а, 57.40, 57.41б, 57.45;
+  *★ доказать, что $\operatorname{Aut}(S_n)=\operatorname{Inn}(S_n)\simeq S_n$, кроме случаев $n=2,6$.
+----
+=== 2 октября 2026 ===
+Прямое произведение (прямая сумма) групп, примеры разложений и неразложимости групп в прямые произведения (прямые суммы). Полупрямое произведение групп, пример: $D_n$.
+== Домашнее задание: ==
+  * 60.2бг, 60.5, 60.7, 60.8б, 60.12;
+  * какие из групп в задаче 60.2 разложимы (нетривиальным образом) в полупрямое произведение?
+  * разложить в полупрямое произведение группы: а) $S_n$ б) $GL_n(K)$ в) невырожденных верхнетреугольных матриц размера $n\times n$.
+----
+=== 9 октября 2026 ===
+Системы порождающих в группе, конечно порождённые и не конечно порождённые группы, примеры. Случай абелевых групп, свободные конечно порождённые группы. Структура конечно порождённых абелевых групп, её определение, исходя из представления группы в виде факторгруппы свободной группы по подгруппе, заданной набором порождающих элементов, приведением целочисленной матрицы координат порождающих элементов подгруппы к «диагональному» виду. Вычисление порядка элемента в конечно порождённой абелевой группе, представленной как факторгруппа свободной группы.
+== Домашнее задание: ==
+  * 60.32, 60.50, 60.51, 60.52агд, 60.53.
+  * Доказать:
+    - группа $S_n$ порождена транспозицией $(1,2)$ и циклом $(1,2,\dots,n)$;
+    - группа $A_n$ порождена тройными циклами при $n\geqslant3$ и парами независимых транспозиций при $n\geqslant5$;
+    - группа $SL_n(K)$ порождена элементарными матрицами 1-го типа.
+  * Являются ли конечно порождёнными следующие группы:
+    - группа рациональных дробей $m/n$, у которых простые делители $n$ содержатся среди $\{p_1,\dots,p_s\}$, с операцией сложения;
+    - группа рациональных дробей $m/n\ne0$, у которых простые делители $m$ и $n$ содержатся среди $\{p_1,\dots,p_s\}$, с операцией умножения?
+----
+=== 16 октября 2026 ===
+Объём целочисленного параллелепипеда. Конечные абелевы группы, их структура, тип группы. Классификация конечных абелевых групп заданного порядка. Определение типа факторгруппы конечной (или конечно порождённой) абелевой группы. Вложимость конечных абелевых групп друг в друга.
+== Домашнее задание: ==
+  * 60.39ежз, 60.40ав, 60.42, 60.43а, 60.45;
+  * доказать формулу для объёма целочисленного $n$-мерного параллелепипеда $\Pi$ :
+$$\operatorname{vol}(\Pi) = \sum_{k=0}^n \frac1{2^k}\cdot(\text{число целых точек внутри всех $(n-k)$-мерных граней $\Pi$});$$
+  * доказать формулу Пика для площади целочисленного многоугольника $P$ :
+$$S(P) = (\text{число целых точек внутри $P$}) + \frac12 \cdot (\text{число целых точек на границе $P$}) - 1.$$