Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- семинары_205_группа_осень_2026 [25.09.2026 14:03]
timashev
+++ семинары_205_группа_осень_2026 [16.10.2026 17:32] (текущий)
timashev
@@ Строка 47: / Строка 47: @@
   * 58.32аде, 58.33гд, 58.43, 57.39а, 57.40, 57.41б, 57.45;
   *★ доказать, что $\operatorname{Aut}(S_n)=\operatorname{Inn}(S_n)\simeq S_n$, кроме случаев $n=2,6$.
+----
+=== 2 октября 2026 ===
+Прямое произведение (прямая сумма) групп, примеры разложений и неразложимости групп в прямые произведения (прямые суммы). Полупрямое произведение групп, пример: $D_n$.
+== Домашнее задание: ==
+  * 60.2бг, 60.5, 60.7, 60.8б, 60.12;
+  * какие из групп в задаче 60.2 разложимы (нетривиальным образом) в полупрямое произведение?
+  * разложить в полупрямое произведение группы: а) $S_n$ б) $GL_n(K)$ в) невырожденных верхнетреугольных матриц размера $n\times n$.
+----
+=== 9 октября 2026 ===
+Системы порождающих в группе, конечно порождённые и не конечно порождённые группы, примеры. Случай абелевых групп, свободные конечно порождённые группы. Структура конечно порождённых абелевых групп, её определение, исходя из представления группы в виде факторгруппы свободной группы по подгруппе, заданной набором порождающих элементов, приведением целочисленной матрицы координат порождающих элементов подгруппы к «диагональному» виду. Вычисление порядка элемента в конечно порождённой абелевой группе, представленной как факторгруппа свободной группы.
+== Домашнее задание: ==
+  * 60.32, 60.50, 60.51, 60.52агд, 60.53.
+  * Доказать:
+    - группа $S_n$ порождена транспозицией $(1,2)$ и циклом $(1,2,\dots,n)$;
+    - группа $A_n$ порождена тройными циклами при $n\geqslant3$ и парами независимых транспозиций при $n\geqslant5$;
+    - группа $SL_n(K)$ порождена элементарными матрицами 1-го типа.
+  * Являются ли конечно порождёнными следующие группы:
+    - группа рациональных дробей $m/n$, у которых простые делители $n$ содержатся среди $\{p_1,\dots,p_s\}$, с операцией сложения;
+    - группа рациональных дробей $m/n\ne0$, у которых простые делители $m$ и $n$ содержатся среди $\{p_1,\dots,p_s\}$, с операцией умножения?
+----
+=== 16 октября 2026 ===
+Объём целочисленного параллелепипеда. Конечные абелевы группы, их структура, тип группы. Классификация конечных абелевых групп заданного порядка. Определение типа факторгруппы конечной (или конечно порождённой) абелевой группы. Вложимость конечных абелевых групп друг в друга.
+== Домашнее задание: ==
+  * 60.39ежз, 60.40ав, 60.42, 60.43а, 60.45;
+  * доказать формулу для объёма целочисленного $n$-мерного параллелепипеда $\Pi$ :
+$$\operatorname{vol}(\Pi) = \sum_{k=0}^n \frac1{2^k}\cdot(\text{число целых точек внутри всех $(n-k)$-мерных граней $\Pi$});$$
+  * доказать формулу Пика для площади целочисленного многоугольника $P$ :
+$$S(P) = (\text{число целых точек внутри $P$}) + \frac12 \cdot (\text{число целых точек на границе $P$}) - 1.$$