Кафедра высшей алгебры

Самостоятельная. Задача 1 варианта: найти все нормальные подгруппы в D_4. Задача 2 варианта: найти все нормальные подгруппы в Q_8.

Абелевы группы. Теорема о классификации конечно порождённых абелевых групп.

Домашнее задание: 60.1, 60.2(б,г), 60.11, 60.14, 60.28, 60.42(а,г), 60.44(б), 57.45.

Теорема о гомоморфизме. Вычисление фактор-групп. Конечные подгруппы группы комплексных чисел с модулем 1 и конечной циклической группы.

Домашнее задание:

Найти факторгруппу в задаче 58.2; 58.29(а,б,в,г); 58.31 (кроме пункта а), 58.32 (кроме пункта в);

доказать, что подгруппа внутренних автоморфизмов нормальна в группе автоморфизмов;

доказать, что подгруппа внутренних автоморфизмов изоморфна фактор-группе изначальной группы по её центру.

Дополнительные задачи:

1) доказать, что группа порядка 6 либо циклическая, либо изоморфна группе перестановок длины 3.

2) Когда группа остатков при делении на n взаимно простых с n по умножению циклическая?

3) Построить сюръективный гомоморфизм S_4 –> S_3.

Автоморфизмы группы. Подгруппа внутренних автоморфизмов. Смежные классы. Теорема Лагранжа. Нормальные подгруппы. Факторгруппа. Вычисление факторгруппы по определению.

Домашнее задание 58.1, 58.2, 58.3, 56.3, 56.6, 56.15, 56.31 (в,г,д,е)

Понятие группы, подгруппы, гомоморфизма, изоморфизма, прямое произведение групп. Критерий того, что подмножество группы является подгруппой. Примеры групп: группы D_n и Q_8. Матричная реализация группы Q_8. Группа симметрий плоской фигуры.

Домашнее задание:

Просмотреть и решить неочевидные пункты: 55.1, 55.5, 55.6

Решить: 55.8, 55.17(г,д,е,ж), 55.18, 55.20 (доделать), 55.21, 55.26

Задача со звёздочкой: Привести пример двух неизоморфных конечных групп, между которыми есть биекция, сохраняющая порядки элементов.