Это старая версия документа!
Семинары по алгебре группы 214, осень 2022
Преподаватель: Куликова О.В.
Семинары проходят по понедельникам в 13:15 в ауд.405 <fc #FF0000>ауд. 463</fc>
Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, 2-е изд., Москва, Физматлит, 2015.
Занятие №1 (5 сентября 2022)
(Повторение из 1-го семестра)
Определение группы и подгруппы, циклической подгруппы. Система порождающих элементов группы. Порядок группы, порядок элемента, теорема Лагранжа, следствия. Гомоморфизм, изоморфизм групп.
Домашнее задание:
1) 55.5 (к), 55.6 (р,с,т), 56.32 (б, в),
2) 56.3 (без а, в), 56.11, 56.28,
3) 55.17, 58.27 (а), 58.28,
4) 55.25, 55.26, 55.32, 55.33, 55.34 (б, в), 55.20
Занятие №2 (12 сентября 2022)
1) Группа автоморфизмов.
2) Смежные классы. Теорема Лагранжа.
3) Нормальные подгруппы.
Домашнее задание:
1) 55.32
2) 56.37 (е-к)
3) 58.1 (в,г), 58.2, 58.5, 58.11 (а)
• Перечислить все группы порядка не более 7 с точностью до изоморфизма.
Занятие №3 (19 сентября)
1) Факторгруппы. Ядро, образ гомоморфизма и их свойства. Теорема о гомоморфизме.
2) Центр.
3) Классы сопряженных элементов
Домашнее задание:
1) 58.30, 58.32, 58.33
2) 58.24 (б,в,ж), 58.20,
3) 57.26, 57.30 , 57.32, 57.35, 58.11, 58.12, 58.4, 58.5
Занятие №4 (26 сентября)
Свободные группы. Группы, заданные порождающими и определяющими соотношениями.
Домашнее задание: 61.23 б, 61.25, 61.26, 61.27, 61.28, 61.29, 61.31, 61.32, 61.33 а
Занятие №5 (3 октября)
Прямые произведения групп.
Домашнее задание: 60.1, 60.2 (а,г), 60.5 (в), 60.15, 60.9
Занятие №6 (10 октября)
1) Разложение конечно порожденных абелевых групп в прямую сумму циклических. Линейно независимые системы элементов. Базис. Свободные абелевы группы. Целочисленные ЭП.
2) Делимые группы.
Домашнее задание:
1) 60.39 (г,д,е), 60.40, 60.41, 60.42 (в,г), 60.43 (б), 60.44, 60.52 (б,в,д), 60.54
2) 60.62, 60.63, 60.64, 60.65
Занятие №7 (17 октября)
1) (Группа гомоморфизмов абелевых групп, кольцо эндоморфизмов абелевой группы)
2) Действие группы на множестве. Орбита. Стабилизатор
Домашнее задание:
1) 60.19, 60.20, 60.22, 60.24 (а)
2) 57.1 (г)+ 57.2 (б), 57.3, 57.9 (б,в), 57.15, 57.12 (в), 57.13 (в), (57.20, 57.21, 58.36, 58.37)
Занятие №8 (24 октября)
Централизатор. Нормализатор
Занятие №9 (31 октября)
Коммутант группы
Занятие №10 (7 ноября)
Коллоквиум
Занятие №11 (14 ноября)
Силовские подгруппы.
Простые группы.
Занятие №12 (21 ноября)
Разрешимые группы.
Определение линейных и матричных представлений. Инвариантные подпространства. Приводимые и неприводимые представления.
Занятие №13 (28 ноября)
В 12:40 кр
Занятие №14 (5 декабря)
Линейные и матричные представления групп. Вполне приводимость. Линейные представления абелевых групп
Домашнее задание: 69.2, 69.12, 70.2 (д,ж,з), 70.10 (б,в), 70.15 , 70.6-9,
Занятие №15 (12 декабря)
Число и размерность неприводимых комплексных представлений. Характеры.
Занятие №16 (15 декабря)
1) Определение кольца и поля. Кольца. Идеалы. Факторкольца. Гомоморфизмы.
2) Поля. Расширения полей. Поле разложения многочлена.
3) (Алгебры)
Домашнее задание:
0) Повторение: 63.1, 63.2, 63.3, 63.11 (б,в,г), 66.1
1) 64.2 (а), 64.3, 64.4, 64.5, 64.6, 64.37, 64.41 (в), 64.43, 64.55(а)
2) 64.39, 66.18(а), 67.3 (е), 67.13 (д)
3) 63.19, 63.20, 63.21 (а)