Семинары по алгебре группы 214, осень 2022
Преподаватель: Куликова О.В.
Семинары проходят по понедельникам в 13:15 в ауд.405 ауд. 463
Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, 2-е изд., Москва, Физматлит, 2015.
Темы задач на зачете (расшифровка таблицы):
1) Кон.пор. абелевы группы
2) Разрешимые группы
3) Классы сопряженности
4) Коммутанты
5) Силовские подгруппы. В частности, задачи на проверку простоты группы, доказательство коммутативности.
6) Порядок элемента. Подгруппы конечно порожденных абелевых групп.
7) Действия. Орбиты. Стабилизаторы.
8) Идеалы колец (односторонние и двусторонние).
9) Изоморфизм колец
10) Конечные поля
11) Число и размерность неприводимых представлений
12) Минимальный многочлен. Расширения полей
13) Неприводимые комплексные представления абелевых групп
14) Одномерные представления
15) Определение линейного представления. Проверка на приводимость, вполнеприводимость. Эквивалентность
16) Гомоморфизмы групп, колец
17) Факторгруппы, факторкольца.
18) Центр 19) Централизатор
Занятие №1 (5 сентября 2022)
(Повторение из 1-го семестра)
Определение группы и подгруппы, циклической подгруппы. Система порождающих элементов группы. Порядок группы, порядок элемента, теорема Лагранжа, следствия. Гомоморфизм, изоморфизм групп.
Домашнее задание:
1) 55.5 (к), 55.6 (р,с,т), 56.32 (б, в),
2) 56.3 (без а, в), 56.11, 56.28,
3) 55.17, 58.27 (а), 58.28,
4) 55.25, 55.26, 55.32, 55.33, 55.34 (б, в), 55.20
Занятие №2 (12 сентября 2022)
1) Группа автоморфизмов.
2) Смежные классы. Теорема Лагранжа.
3) Нормальные подгруппы.
Домашнее задание:
1) 55.32
2) 56.37 (е-к)
3) 58.1 (в,г), 58.2, 58.5, 58.11 (а)
• Перечислить все группы порядка не более 7 с точностью до изоморфизма.
Занятие №3 (19 сентября)
1) Факторгруппы. Ядро, образ гомоморфизма и их свойства. Теорема о гомоморфизме.
2) Центр.
3) Классы сопряженных элементов
Домашнее задание:
1) 58.30, 58.32, 58.33
2) 58.24 (б,в,ж), 58.20,
3) 57.26, 57.30 , 57.32, 57.35, 58.11, 58.12, 58.4, 58.5
Занятие №4 (26 сентября)
Свободные группы. Группы, заданные порождающими и определяющими соотношениями.
Домашнее задание: 61.23 б, 61.25, 61.26, 61.27, 61.28, 61.29, 61.31, 61.32, 61.33 а
Занятие №5 (3 октября)
Прямые произведения групп.
Домашнее задание: 60.1, 60.2 (а,г), 60.5 (в), 60.15, 60.9
Занятие №6 (10 октября)
1) Разложение конечно порожденных абелевых групп в прямую сумму циклических. Линейно независимые системы элементов. Базис. Свободные абелевы группы. Целочисленные ЭП.
2) Делимые группы.
Домашнее задание:
1) 60.39 (г,д,е), 60.40, 60.41, 60.42 (в,г), 60.43 (б), 60.44, 60.52 (б,в,д), 60.54
2) 60.62, 60.63, 60.64, 60.65
Занятие №7 (17 октября)
1) (Группа гомоморфизмов абелевых групп, кольцо эндоморфизмов абелевой группы)
2) Действие группы на множестве. Орбита. Стабилизатор
Домашнее задание:
1) 60.19, 60.20, 60.22, 60.24 (а)
2) 57.1 (г)+ 57.2 (б), 57.3, 57.9 (б,в), 57.15, 57.12 (в), 57.13 (в), (57.20, 57.21, 58.36, 58.37)
Занятие №8 (24 октября)
Централизатор. Нормализатор
Занятие №9 (31 октября)
Коммутант группы
Занятие №10 (7 ноября)
Коллоквиум
Занятие №11 (14 ноября)
Силовские подгруппы.
Простые группы.
Занятие №12 (21 ноября)
Разрешимые группы.
Определение линейных и матричных представлений. Инвариантные подпространства. Приводимые и неприводимые представления.
Занятие №13 (28 ноября)
В 12:40 кр
Занятие №14 (5 декабря)
Линейные и матричные представления групп. Эквивалентность. Вполне приводимость. Линейные представления абелевых групп
Домашнее задание: 69.2, 69.12, 70.2 (д,ж,з), 70.10 (б,в), 70.15 , 70.6-9,
Занятие №15 (12 декабря)
Число и размерность неприводимых комплексных представлений. Характеры.
Занятие №16 (15 декабря)
1) Определение кольца и поля. Кольца. Идеалы. Факторкольца. Гомоморфизмы.
2) Поля. Расширения полей. Поле разложения многочлена.
3) (Алгебры)
Домашнее задание:
0) Повторение: 63.1, 63.2, 63.3, 63.11 (б,в,г), 66.1
1) 64.2 (а), 64.3, 64.4, 64.5, 64.6, 64.37, 64.41 (в), 64.43, 64.55(а)
2) 64.39, 66.18(а), 67.3 (е), 67.13 (д)
3) 63.19, 63.20, 63.21 (а)
Темы КР2
1) Линейные и матричные представления групп. Эквивалентность. Вполне приводимость. Линейные представления абелевых групп. Неприводимые комплексные представления. Число и размерность неприводимых комплексных представлений. Характеры.
2) Кольца и поля. Идеалы. Факторкольца. Гомоморфизмы и изоморфизмы. Расширения полей. Степень расширения. Алгебраические элементы. Минимальный многочлен. Поле разложения многочлена.