Преподаватель: Д.А.Тимашёв

Семинары проходят по понедельникам еженедельно на 3-й паре (13:15-14:50) в ауд. 16-13 и по пятницам на каждой нечётной неделе на 1-й паре (9:00-10:45) в ауд. 12-08.

Объявление: вместо семинара в пятницу 17 апреля пройдёт внеочередная лекция.

Классификация одномерных алгебр и двумерных алгебр с единицей над $\mathbb{C}$. Присоединение единицы к ассоциативному кольцу или алгебре. Алгебра формальных степенных рядов и кольцо целых $p$-адических чисел. Обратимые и необратимые элементы в кольцах и алгебрах, пример: произведение двух необратимых элементов равно $1$. Локальные кольца.

Домашнее задание

Классификация идеалов в двумерной алгебре с единицей. Идеалы в алгебре $C(X)$ непрерывных функций на топологическом пространстве $X$, описание максимальных идеалов в случае компактного $X$. Простые кольца и алгебры. Алгебра Вейля.

Домашнее задание

Простые модули. Кольцо многочленов как модуль над алгеброй Вейля, его простота. Композиционный ряд, модули конечной длины, теорема Жордана–Гёльдера. Полупростые модули. Разложение модуля конечной длины в прямую сумму неразложимых подмодулей, теорема Крулля–Ремака–Шмидта.

Домашнее задание

Тензорное произведение модулей, примеры: $\mathbb{Q}\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$, $A/I\otimes_AM$, $A/I\otimes_AA/J$, в частности, $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.

Домашнее задание

Тензорное произведение векторных пространств, применение: произведение Адамара положительно определённых матриц положительно определено. Пространство линейных отображений в тензорной интерпретации, тензорное произведение линейных отображений. Тензорное произведение алгебр, пример: $\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$.

Домашнее задание

Модули гомоморфизмов. Существование точного конечномерного представления у конечномерной ассоциативной алгебры. Запись линейного представления нильпотентной алгебры нильтреугольными матрицами, её неприводимые представления. Стандартное скалярное умножение на алгебре матриц. Контрпример к совпадению радикала с ядром стандартного скалярного умножения в положительной характеристике. Стандартное скалярное умножение на алгебре $K[x]/K[x]f$ и дискриминант многочлена $f$.

Домашнее задание

Структура полупростых алгебр.

Домашнее задание

Прямая сумма и тензорное произведение полупростых алгебр. Центральные простые алгебры и алгебры с делением, их тензорное произведение. Группа Брауэра. Обобщённые кватернионы.

Домашнее задание

1. Вычисление в кольце целых 7-адических чисел (1 вариант); вычисление комбинации $\operatorname{Hom}$ и $\otimes$ модулей (2 вариант).
2. Нахождение композиционного ряда и набора простых факторов (1 вариант) и всех подмодулей (2 вариант) конечномерного модуля над алгеброй.
3. Вычисление матрицы стандартного скалярного умножения (1 вариант) и нахождение радикала (2 вариант) конечномерной ассоциативной алгебры.
4. Сколько неприводимых представлений имеет алгебра и какие у них размерности (1 вариант); сколько вещественных корней у многочлена (2 вариант) ?
5. Является ли алгебра обобщённых кватернионов над $\mathbb{Q}(\sqrt2)$ алгеброй с делением (1 вариант); изоморфны ли алгебры обобщённых кватернионов над $\mathbb{Q}$ (2 вариант) ?

Представление в пространстве функций на множестве с действием группы: задание матрицами на инвариантном подпространстве. Нахождение инвариантных подпространств и доказательство неприводимости линейного представления. Разложение вполне приводимого представления в прямую сумму неприводимых представлений.

Домашнее задание

Описание одномерных комплексных представлений конечных групп, пример: $S_3 \times D_5$. Количество и размерности неприводимых представлений конечной группы. Описание всех неприводимых комплексных представлений группы $D_n$. Существует ли конечная группа с заданным набором размерностей неприводимых представлений?

Домашнее задание

Групповые алгебры конечных групп, их структура. Групповая алгебра над полем характеристики, делящей порядок группы, не полупроста. Групповая алгебра группы порядка $>1$ не проста. Разложение групповой алгебры в прямую сумму простых идеалов, пример: $\mathbb{C} S_3$.

Домашнее задание