Семинары по алгебре группы 214, осень 2024
Преподаватель: Куликова О.В.
Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, 2-е изд., Москва, Физматлит, 2015.
Занятие №2 (14 сентября)
1) Изоморфизм групп. Группа автоморфизмов.
2) Смежные классы. Теорема Лагранжа. Следствия.
Домашнее задание:
1) 55.25, 55.26, 55.22,
Aut G: 55.32 (в, г, д,е), 55.31 (лекции)
2) 56.37 (е-л)
Занятие №3 (21 сентября)
1) Нормальные подгруппы
2) Факторгруппы.
Домашнее задание: 1) 58.1 (в), 58.2, 58.11 (а)
2) 58.30, 58.32, 58.33, 58.34
Занятие №4 (27 сентября)
1) Ядро, образ гомоморфизма и их свойства. Теорема о гомоморфизме.
2) Свободные группы. Группы, заданные порождающими и определяющими соотношениями.
Домашнее задание:
1) 55.17, 58.28 (в,г,д), 58.16,
2) 61.15, 61.23 (б), 61.27, 61.28 (б), 61.29, 61.31, 61.33 (а)
Занятие №5 (5 октября)
Прямые произведения
Домашнее задание:
0) Найти ошибку в перечислении элементов решения задачи 61.33 (а) и исправить ее.
1) 60.2, 60.5 (в), 60.9, 60.13, 60.17, 60.44, 60.45 (б)
Занятие №6 (12 октября)
Свободные абелевы группы. Целочисленные элементарные преобразования.
Домашнее задание:
60.52 (б,в,г), 60.54
Занятие №7 (19 октября)
1) Основная теорема о конечно порожденных абелевых группах.
2) Делимые группы.
3) Группа гомоморфизмов абелевых групп. Кольцо эндоморфизмов абелевой группы.
Домашнее задание:
1) 60.39 (д-з), 60.40, 60.42, 60.43 (б), 60.31, 60.32, 60.34
2) 60.62, 60.64
3) 60.19, 60.20, 60.21; 60.22, 60.24
Занятие №8 (26 октября)
1) Действие группы на множестве. Орбиты и стабилизаторы.
Домашнее задание:
0) 60.32
1) 57.1(г)+57.2(б), 57.3, 57.9(б,в), 57.12(в), 57.15, 55.27.
Занятие №9 (2 ноября)
1) Теорема Кэли
2) Классы сопряженности
3) Централизатор
4) Центр
Домашнее задание:
1) 55.34 (б,в)
2) 57.30 (б,в), 57.32 (б), 57.35 (в,г), 58.4 (б,в), 58.12
3) 57.23 (б), 57.24 (б,в), 57.25 (а), 57.28, 57.31 (в)
4) 58.11 (б), 58.20 (б,в), 58.24 (б,в,ж)
Занятие №10 (9 ноября)
Нормализатор подгруппы
Домашнее задание:
1) 57.38 (б,в)
2) 57.20, 57.21, 58.36, 58.37
Занятие №11 (16 ноября)
Коллоквиум
Занятие №12 (23 ноября)
1) Силовские подгруппы
2) Теоремы Силова
3) Простые группы
Домашнее задание:
1) 59.3 (б), 59.5, 59.10, 59.17
2) 59.20 (б,в), 59.19, 59.23
3) 59.22 (б,в,г,д)
Занятие №13 (30 ноября)
0) Коммутаторы. Коммутант
1) Разрешимые группы
2) Линейные и матричные представления.
Домашнее задание:
0) 62.1 (б,в), 62.8 (б), 62.9
1) 62.12 (г,д), 62.18(в,г,д,е)
2) 69.4 (в-е), 69.9
Занятие №14 (7 декабря)
1) Линейные и матричные представления. Эквивалентность.
2) Инвариантные подпространства
3) Неприводимые представления. Сумма представлений. Вполне приводимость
4) Одномерные комплексные представления групп. Теорема Машке
Домашнее задание:
1) 69.14
2) 69.5 (ж,з,и), 69.8
3) 69.15, 69.2, 69.12
4) 70.2 (д,ж,з), 70.16, 70.10 (б,в)
Занятие №15 (14 декабря)
-1) Число и размерность неприводимых комплексных линейных представлений
0) Повторение: Кольца, поля.
1) Идеал
2) Факторкольца. Гомоморфизмы
3) Поля. Расширения полей
Домашнее задание:
-1) 70.34 (в, г), 70.37
0) 63.1,2,3+66.1, 63.11 (б,д - только про делители нуля),
1) 64.5, 64.7
2) 64.41 (в), 64.37, 64.39, 64.55 (а,б), 64.43
3) 67.3 (е), 67.13 (д)