Вопросы к коллоквиуму по курсу высшей алгебры за 3-й семестр. 2012 г. Лектор — Э.Б.Винберг
1. Отношение левой (правой) сравнимости по модулю подгруппы как отношение эквивалентности в группе. Для каких подгрупп это отношение согласовано с групповой операцией? Определение факторгруппы.
2. Ядро и образ гомоморфизма групп. Теорема о гомоморфизме.
3. Разложение группы в прямое произведение подгрупп. Случай двух множителей. Внешнее прямое произведение групп, его связь с внутренним.
4. Прямая сумма колец. Прямая сумма колец вычетов по взаимно простым модулям (китайская теорема об остатках).
5. Мультипликативная группа кольца вычетов. Функция Эйлера, ее вычисление.
6. Свободные (конечнопорожденные) абелевы группы. Равномощность всех базисов свободной абелевой группы.
7. Описание всех базисов свободной абелевой группы.
8. Свободность и ранг подгруппы свободной абелевой группы.
9. Решетки в пространстве En.
10. Кристаллографические группы. Возможные порядки осей симметрии кристалла.
11. Существование базиса свободной абелевой группы, согласованного с подгруппой.
12. Разложение конечнопорожденной абелевой группы в прямую сумму примарных и бесконечных циклических групп (без доказательства единственности).
13. Подгруппа кручения и инвариантность числа бесконечных слагаемых в разложении конечнопорожденной абелевой группы в прямую сумму циклических групп. Подгруппа p-кручения.
14. Экспонента конечной абелевой группы. Цикличность мультипликативной группы конечного поля.
15. Автоморфизмы и внутренние автоморфизмы групп. Группа автоморфизмов конечной циклической группы.
16. Разложение группы в полупрямое произведение подгрупп. Внешнее полупрямое произведение групп, его связь с внутренним.
17. Полупрямые произведения циклических групп.
18. Системы порождающих в группе. Доказательство того, что группа Sn порождается транспозициями, а группа An — тройными циклами.
19. Порождение групп GLn(K) и SLn(K) элементарными матрицами.
20. Коммутант группы. Вычисление коммутантов групп Sn и An.
21. Вычисление коммутантов групп GLn(K) и SLn(K).
22. Кратные коммутанты группы. Разрешимые группы. При каких n группа Sn разрешима?
23. Критерий разрешимости группы. Разрешимость группы треугольных матриц.
24. Классы сопряженности в группе. Описание классов сопряженности в группах Sn и GLn(C).
25. Простые группы. Простота группы A5.
26. Действия групп. Ядро неэффективности. Орбиты и стабилизаторы. Теорема о мощности (длине) орбиты для действия конечной группы. Транзитивные действия.
27. Связь между стабилизаторами эквивалентных точек для заданного действия группы.
28. Действие группы на себе сопряжениями. Централизатор элемента. Число элементов конечной группы, сопряженных данному элементу.
29. Действие группы на множестве своих подгрупп сопряжениями. Нормализатор подгруппы. Число подгрупп конечной группы, сопряженных данной подгруппе.
30. Нетривиальность центра примарной конечной группы. Группы порядка p2.