1) А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры.

2) Э.Б. Винберг. Курс алгебры.

---

(Пока всё над вещественными числами.)

Матрицы, строка, столбец, виды матриц (квадратные, диагональные, единичная, нулевая, (строго) верхняя треугольная и нижняя треугольная.)

Линейные операции над матрицами. Свойства.

Лидеры строк, матрицы ступенчатого вида, приведение матрицы к ступенчатому виду (прямой ход метода Гаусса).

1) Системы линейных уравнений (СЛУ) и их решения. Совместные и несовместные, определённые и неопределённые СЛУ. Матрица коэффициентов и расширенная матрица системы.

Элементарные преобразования систем линейных уравнений. Их связь с элементарными преобразованиями над строками расширенной матрицы. Элементарное преобразование приводит к эквивалентной СЛУ.

Метод Гаусса решения СЛУ.

Лекция 3 (14 сентября, пн)

1) Приведение матрицы к улучшенному ступенчатому виду (обратный ход метода Гаусса). Применение к решению СЛУ.

2) Однородные системы линейных уравнений, их совместность. Однородное СЛУ с числом уравнений меньше числа неизвестных имеет ненулевое решение.

3) Определение векторного пространства (вещественного). Примеры (V^2, R^n, M_n(R)). Следствия из аксиом. Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Критерий линейной зависимости.

Лекция 4 (17 сентября, чт)

1) Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем (продолжение). Основная лемма о линейной зависимости.

2) Линейная оболочка системы векторов. Определение множества, порождающего векторное пространство.

3) Определение базиса. Свойства. Всякое конечномерное векторное пространство обладает базисом. Все базисы конечномерного векторного пространства содержат одно и то же число векторов. Определение размерности векторного пространства. Примеры. Всякую линейно независимую систему векторов конечномерного векторного пространства можно дополнить до базиса.

Лекция 5 (21 сентября, пн)

1) Определение ранга матрицы как ранга системы ее строк. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях над строками. Ранг матрицы ступенчатого вида равен числу ее ненулевых строк. Ранг системы столбцов матрицы не меняется при элементарных преобразованиях над строками. Транспонированная матрица. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях над столбцами. Ранг системы строк матрицы равен рангу системы ее столбцов.

2) Критерий совместности (теорема Кронекера-Капелли) и критерий определенности СЛАУ в терминах рангов матриц.

Однородные СЛАУ. Пространство решений однородной СЛАУ и его базис (ФСР). Теорема о размерности пространства решений однородной СЛАУ.

Лекция 6 (28 сентября, пн)

1) Пример решения однородной СЛУ. Связь между множествами решений совместной системы линейных уравнений и соответствующей системы однородных линейных уравнений.

2) Операции над матрицами. Относительно сложения и умножения на число множество матриц фиксированного размера образует векторное пространство. Его размерность и стандартный базис. Определение умножения матриц.

3) Линейное отображение. Простейшие свойства. Примеры. Изоморфизм. Отождествление произвольного n-мерного векторного пространства над R с R^n.

Лекция 7 (1 октября, чт)

1) Матрица линейного отображения относительно данных базисов. Операции над линейными отображениями. Связь с операциями над матрицами.

2) Операции над матрицами (сложение, умножение на число, произведение, транспонирование), свойства.

3) Ранг суммы матриц. Ранг произведения матриц. Пока только формулировки.

Лекция 8 (5 октября, пн)

1) Ранг суммы матриц. Ранг произведения матриц. Доказательство.

2) Определение перестановки из n элементов. Инверсии и знак перестановки. Изменение четности перестановки при транспозиции. Число перестановок из n элементов. Число четных перестановок равно числу нечетных перестановок.

3) Формула полного разложения определителя. Пример определителя 2-го порядка. Определитель как полилинейная кососимметрическая функция строк матрицы.

Лекция 9 (12 октября, пн)

ПЛАН

Определитель как полилинейная кососимметрическая функция строк матрицы.

Элементарные преобразования над строками определителя. Вычисление определителя посредством приведения к треугольному виду.

Определитель транспонированной матрицы.

Элементарные матрицы, их связь с элементарными преобразованиями над строками и столбцами матрицы.

К какому виду можно привести матрицу с помощью элементарных преобразований, если определитель матрицы равен нулю (отличен от нуля)?

Определитель матрицы с углом нулей.

Определитель произведения матриц