Кафедра высшей алгебры

Вы посетили: » lin_algebra_2021



      


ВОПРОСЫ К КОЛЛОКВИУМУ

1. Векторные пространства. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис, размерность.

2. Матрица перехода от одного базиса к другому. Координаты, их изменение при замене базиса. Изоморфизм пространств одинаковой размерности.

3. Подпространства, их суммы и пересечения. Прямая сумма подпространств. Размерность суммы и пересечения подпространств.

4. Сопряженное пространство и его размерность. Канонический изоморфизм. Критерий линейной независимости векторов.

5. Линейные отображения, их задание матрицами. Размерность ядра и образа. Критерий инъективности.

6. Алгебра линейных операторов. Матрица линейного оператора и ее изменение при замене базиса.

7. Определитель и след линейного оператора. Критерий невырожденности оператора.

8. Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения.

9. Характеристический многочлен. Алгебраическая и геометрическая кратности корня.

10. Спектр оператора. Критерии диагонализируемости линейного оператора.

11. Минимальный многочлен, его существование и единственность.

12. Теорема Гамильтона-Кэли и ее следствия.

13. Разложение пространства в сумму корневых подпространств.

14. Нормальный базис для нильпотентного оператора.

15. Жордановы матрицы. Существование жордановой нормальной формы у комплексной матрицы.

16. Единственность жордановой нормальной формы.

17. Билинейные формы и их матрицы. Изменение матрицы при замене базиса. Канонический базис для симметрической билинейной формы.

18. Квадратичные формы и их матрицы. Канонический и нормальный вид квадратичной формы. Алгоритм Лагранжа.

19. Закон инерции для вещественных квадратичных форм.

20. Теорема Якоби. Критерий Сильвестра.

21. Канонический вид кососимметрической билинейной формы.

22. Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского и его следствия.

23. Ортогональность векторов. Существование ортонормированного базиса в евклидовом пространстве. Изоморфизм евклидовых пространств одинаковой размерности.

24. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Ортогональное дополнение.

25. Сопряженный оператор и его матрица. Существование ортонормированного базиса из собственных векторов для самосопряженного оператора.

26. Ортогональные матрицы. Приведение квадратичной формы к главным осям.

27. Ортогональный оператор и его канонический базис.

28. Полярное разложение линейного оператора