• Показать страницу
  • История страницы
  • Ссылки сюда

    • Различия

    Показаны различия между двумя версиями страницы.

    Ссылка на это сравнение

    Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
    Следующая версия     		Предыдущая версия
    lin_algebra_2021 [21.03.2021 19:27]
    klyachko     		lin_algebra_2021 [08.04.2025 16:43] (текущий)
    Строка 1: Строка 1:
     +<color #FF0000>Начало экзамена в 108 группе 24 июня переносится на 17:00.</color> 
     +
     +{{:время_подключения_к_zoom_108.pdf|Время подключения к zoom-конференции для студентов 108 группы на экзамен по Линейной алгебре 24 июня}}
     +
     +Для экзамена используется факультетский zoom.
     +
     +{{:инструкция_для_студентов_15_06_21.pdf|Инструкция для студентов по участию в zoom-конференции экзамена}}
     +
     +
      
       *[[лекции_1_курс_2_поток_весна_2021|Лекции, 1 курс, 2 поток, весна 2021]]   *[[лекции_1_курс_2_поток_весна_2021|Лекции, 1 курс, 2 поток, весна 2021]]
    Строка 9: Строка 18:
      
      
    -——-+---- 
     + 
     +==== ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ==== 
     +       
     + 
     +1.  Векторные пространства. Линейная зависимость и независимость векторов.  Базис, размерность.  
     + 
     +2.  Матрица перехода от одного базиса к другому. Координаты, их изменение при  замене базиса. Изоморфизм пространств одинаковой размерности. 
     + 
     +3.  Подпространства, их суммы и пересечения. Прямая сумма подпространств.  Размерность суммы и пересечения подпространств. 
     + 
     +4.  Сопряженное пространство и его размерность. Канонический изоморфизм.  Критерий линейной независимости векторов. 
     + 
     +5.  Линейные отображения, их задание матрицами. Размерность ядра и образа.  Критерий инъективности. 
     + 
     +6.  Алгебра линейных операторов. Матрица линейного оператора и ее изменение при замене базиса. 
     + 
     +7.  Определитель и след линейного оператора. Критерий невырожденности оператора. 
     + 
     +8.  Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения. 
     + 
     +9. Характеристический многочлен. Алгебраическая и геометрическая кратности  корня. 
     + 
     +10. Спектр оператора. Критерии диагонализируемости линейного оператора. 
     + 
     +11. Минимальный многочлен, его существование и единственность. 
     + 
     +12. Теорема Гамильтона-Кэли и ее следствия. 
     + 
     +13. Разложение пространства в сумму корневых подпространств. 
     + 
     +14. Нормальный базис для нильпотентного оператора. 
     + 
     +15. Жордановы матрицы. Существование жордановой нормальной формы у комплексной  матрицы. 
     + 
     +16. Единственность жордановой нормальной формы. 
     + 
     +17. Билинейные формы и их матрицы. Изменение матрицы при замене базиса.  Канонический базис для симметрической билинейной формы. 
     + 
     +18. Квадратичные формы и их матрицы. Канонический и нормальный вид квадратичной  формы. Алгоритм Лагранжа. 
     + 
     +19. Закон инерции для вещественных квадратичных форм. 
     + 
     +20. Теорема Якоби. Критерий Сильвестра. 
     + 
     +21. Канонический вид кососимметрической билинейной формы. 
     + 
     +22. Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского и его следствия. 
     + 
     +23. Ортогональность векторов. Существование ортонормированного базиса в евклидовом пространстве. Изоморфизм евклидовых пространств одинаковой  размерности. 
     + 
     +24. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Ортогональное дополнение. 
     + 
     +25. Сопряженный оператор и его матрица. Существование ортонормированного базиса  из собственных векторов для самосопряженного оператора. 
     + 
     +26. Ортогональные матрицы. Приведение квадратичной формы к главным осям. 
     + 
     +27. Ортогональный оператор и его канонический базис. 
     + 
     +28. Полярное разложение линейного оператора. 
     + 
     +29. Унитарное пространство, существование ортонормированного базиса, матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому. 
     + 
     +30. Эрмитовы и унитарные операторы, их канонический вид. 
     + 
     +31. Аффинные пространства, их изоморфизм, координаты точки в разных системах  координат. 
     + 
     +32. Подпространства в аффинном пространстве и их пересечение. Задание подпространств системами линейных уравнений. 
     + 
     +33. Евклидовы пространства, расстояние от точки до плоскости. 
     + 
     +34. Расстояние между плоскостями в евклидовом пространстве. Определитель Грама    и объем параллелепипеда. 
     + 
     +35. Аффинная группа, подгруппа сдвигов и подгруппа, оставляющая неподвижной   фиксированную точку. 
     + 
     +36. Движения евклидова пространства. 
     + 
     +37. Классификация движений в двумерном и трехмерном пространствах. 
     + 
     +38. Понятие тензора, тензоры малых рангов, произведение тензоров. Базис и  размерность пространства тензоров типа (p,q). 
     + 
     +39. Изменение координат тензора при замене базиса. 
     + 
     +40. Свертка тензора, ее координаты. 
     + 
     +41. Симметризация и альтернирование тензоров. 
     + 
     +42. Тензорная алгебра. Внешняя алгебра векторного пространства. 
     + 
     +43. Базис и размерность внешней алгебры векторного пространства. 
     + 
     +44. Связь внешнего произведения с определителем.
      
     +----
      
    -                                                               === ВОПРОСЫ К  КОЛЛОКВИУМУ ===+**ВОПРОСЫ К [[http://halgebra.math.msu.su/wiki/lib/exe/fetch.php/%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%BB%D0%BE%D0%BA%D0%B2%D0%B8%D1%83%D0%BC%D1%8B%D0%B2%D0%B5%D1%81%D0%BD%D0%B0_29_03_21_.pdf|КОЛЛОКВИУМУ]]**
      
     1.  Векторные пространства. Линейная зависимость и независимость векторов.  Базис, размерность.  1.  Векторные пространства. Линейная зависимость и независимость векторов.  Базис, размерность. 
      
    -2.  Матрица перехода от одного базиса к другому. Координаты, их изменение при  замене базиса.   +2.  Матрица перехода от одного базиса к другому. Координаты, их изменение при  замене базиса.  Изоморфизм пространств одинаковой размерности.
    -    Изоморфизм пространств одинаковой размерности.+
      
    -3.  Подпространства, их суммы и пересечения. Прямая сумма подпространств.  Размерность суммы и +3.  Подпространства, их суммы и пересечения. Прямая сумма подпространств.  Размерность суммы и пересечения подпространств.
    -    пересечения подпространств.+
      
    -4.  Сопряженное пространство и его размерность. Канонический изоморфизм.  Критерий линейной +4.  Сопряженное пространство и его размерность. Канонический изоморфизм.  Критерий линейной независимости векторов.
    -    независимости векторов.+
      
    -5.  Линейные отображения, их задание матрицами. Размерность ядра и образа.  Критерий +5.  Линейные отображения, их задание матрицами. Размерность ядра и образа.  Критерий инъективности.
    -    инъективности.+
      
     6.  Алгебра линейных операторов. Матрица линейного оператора и ее изменение при замене базиса. 6.  Алгебра линейных операторов. Матрица линейного оператора и ее изменение при замене базиса.
    Строка 50: Строка 147:
     16. Единственность жордановой нормальной формы. 16. Единственность жордановой нормальной формы.
      
    -17. Билинейные формы и их матрицы. Изменение матрицы при замене базиса.  Канонический базис для +17. Билинейные формы и их матрицы. Изменение матрицы при замене базиса.  Канонический базис для симметрической билинейной формы.
    -     симметрической билинейной формы.+
      
    -18. Квадратичные формы и их матрицы. Канонический и нормальный вид квадратичной  формы. +18. Квадратичные формы и их матрицы. Канонический и нормальный вид квадратичной  формы. Алгоритм Лагранжа.
    -    Алгоритм Лагранжа.+
      
     19. Закон инерции для вещественных квадратичных форм. 19. Закон инерции для вещественных квадратичных форм.
    Строка 64: Строка 159:
     22. Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского и его следствия. 22. Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского и его следствия.
      
    -23. Ортогональность векторов. Существование ортонормированного базиса в евклидовом пространстве. +23. Ортогональность векторов. Существование ортонормированного базиса в евклидовом пространстве. Изоморфизм евклидовых пространств одинаковой  размерности.
    -     Изоморфизм евклидовых пространств одинаковой  размерности.+
      
     24. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Ортогональное дополнение. 24. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Ортогональное дополнение.
      
    -25. Сопряженный оператор и его матрица. Существование ортонормированного базиса  из собственных +25. Сопряженный оператор и его матрица. Существование ортонормированного базиса  из собственных векторов для самосопряженного оператора.
    -     векторов для самосопряженного оператора.+
      
     26. Ортогональные матрицы. Приведение квадратичной формы к главным осям. 26. Ортогональные матрицы. Приведение квадратичной формы к главным осям.
    lin_algebra_2021.1616344064.txt.gz · Последнее изменение: 08.04.2025 16:42 (внешнее изменение)

  • Показать страницу
  • История страницы
  • Ссылки сюда
  • Недавние изменения