Специальный курс "Теория категорий", мехмат МГУ, осенний и весенний семестры 2023/2024
Лектор Гордиенко Алексей Сергеевич
Годовой (но можно сдавать и полгода) спецкурс для студентов 2-6 курса, магистрантов и аспирантов.
понедельник, 18:30-20:05, ауд. 16-03 14-08 (главное здание МГУ), первая лекция весеннего семестра 12 февраля 2024 года.
Экзамен по задачам весеннего семестра состоится 20 мая вместо последней лекции.
Решённые задачи нужно будет принести в отдельной тонкой тетради. На экзамене будут заданы задачи и вопросы на понимание по программе ниже. Число вопросов и задач будет зависеть от того, насколько много задач вам удастся сделать дома из списка выше, и того, насколько часто я вас видел на лекциях. На экзамене ничем нельзя будет пользоваться, кроме тетради с решёнными задачами.
Аннотация курса. Говорят, что задана категория, если задан класс объектов, которые могут быть множествами (а могут и не быть), и для каждых двух объектов задано множество морфизмов (стрелок) между этими объектами, которые могут являться (а могут и не являться) отображениями, сохраняющими некоторые свойства. Подобная общность позволяет, например, направить стрелки в противоположную сторону и получить категорию, двойственную к исходной. Кроме того, такая общность позволяет изучать сразу несколько категорий одновременно.
Примерами категорий являются категория множеств, в которой морфизмы - это все отображения между множествами; категория групп, в которой морфизмы - это гомомоморфизмы групп; категория топологических пространств, в которой морфизмы - это непрерывные отображения. Частично упорядоченное множество - это тоже категория, объектами которой являются его элементы, а от элемента к элементу, большему или равному ему, существует стрелка.
Теорию категорию можно считать следующим уровнем абстракции по сравнению с традиционной абстрактной алгеброй. Эта теория находит применение в самых различных областях математики, информатики и теоретической физики.
В курсе будут рассматриваться следующие темы: категории, функторы, естественные преобразования, пределы и копределы, сопряжённые функторы, абелевы категории, моноидальные категории, заплетённые и симметрические моноидальные категории, монады и алгебры над ними, 2-категории и бикатегории.
Благодарности: чтение спецкурса в осеннем семестре поддержано фондом БАЗИС.
1) 18.09.2023. Большие и малые множества. Универсум. Категории: объекты и морфизмы. Категории множеств, групп, векторных пространств, топологических пространств, матриц. Группа и предпорядок как категории. Категория как алгебраическая структура. Двойственные категории. Функторы. Контравариантные функторы. Примеры: забывающие, вложения, степень множества, Hom-функторы, абелианизации, представления групп. Упражнение: показать, что взятие группы обратимых элементов является функтором из категории ассоциативных колец с 1 в категорию групп. Полные и унивалентные функторы. Подкатегории.
2) 25.09.2023. Упражнение. Пусть G - группа, рассматриваемая как категория с одним объектом. Что из себя представляет G^{op} ?
Изоморфизм в категориях. Естественные преобразования функторов. Примеры.
Упражнение: естественное преобразование функторов является их изоморфизмом, если и только если все его компоненты - изоморфизмы.
Эквивалентность категорий. Категория стрелок. Категории запятой. Вложение Йонеды. Лемма Йонеды.
3) 02.10.2023. (Ко)произведения. Примеры. Свободная группа. Задание группы при помощи порождающих и определяющих соотношений. Свободное произведение групп. Модули над ассоциативными кольцами. Универсальные притягивающие и отталкивающие объекты. Нулевые объекты. Упражнение: чему равно произведение произвольного объекта и универсального притягивающего объекта ?
4) 09.10.2023. Нулевой морфизм. Тензорное произведение алгебр над полем. Копроизведение в категории коммутативных алгебр. (Ко)уравнители. Примеры. Пределы. Коуниверсальные квадраты (=пулбэки). Ядерные пары. Целые p-адические числа.
5) 16.10.2023. Направленности. Ядра и коядра. Свойства пары коуниверсальных квадратов с общей стороной. Коуниверсальный квадрат вдоль морфизма как функтор между категориями запятой. Полные категории. Достаточное условие полноты.
Упражнение: категория полна в малом, если и только если в ней существуют коуниверсальные квадраты (=пулбэки) и малые произведения.
Функторы, сохраняющие пределы (=непрерывные), отражающие и создающие пределы. Пределы в категории Sets.
6) 23.10.2023. Пределы в категориях Top, R-Mod. Непрерывность функтора Hom. Пределы, зависящие от параметра. Покомпонентность вычисления пределов в категориях функторов. Повторный предел равен двойному.
7) 25.10.2023. Полнота категорий функторов в полную категорию. Перестановка пределов. Гомоморфизм графов. Свободные категории, построенные по графам. Сопряжённые функторы.
Упражнение: проверить естественность в свободно-забывающем сопряжении между графами и категориями.
Пределы диаграмм и их связь с пределами функторов. Копределы. Универсальные квадраты (=пушауты).
8) 30.10.2023. Копределы в категориях Sets, Top, R-Mod. Мономорфизмы и эпиморфизмы. Моно- и эпиморфизмы в категориях Sets, Top, Metr, R-Mod.
9) 01.11.2023. Моно- и эпиморфизмы в категории групп. Вложение целых чисел в рациональные как эпиморфизм. Подобъекты и факторобъекты. Предпорядок подобъектов. Пересечение подобъектов. Пересечение подобъектов как предел. Коуниверсальный квадрат с участием мономорфизма.
Упражнение. Доказать, что в коуниверсальном квадрате (пулбэке) в категории групп, в котором нижняя стрелка - эпиморфизм, верхняя стрелка также является эпиморфизмом.
Регулярные, сильные и экстремальные моно- и эпиморфизмы.
10) 08.11.2023. Связь между регулярными, сильными и экстремальными моно- и эпиморфизмами.
Упражнение: доказать теорему о гомоморфизме для моноидов.
Регулярные эпиморфизмы в категориях множеств, колец и моноидов. Факторизационные структуры (системы).
11) 20.11.2023. Композиция сильных мономорфизмов - сильный мономорфизм. Примеры факторизацоннных структур. Факторизационная лемма. Достаточные условия (ExtrEpi, Mono)-структурированности.
12) 22.11.2023. Достаточные условия (Epi, ExtrMono)-структурированности. Категории, малые в смысле подобъектов и факторобъектов.
Упражнение. Привести пример неэкстремального эпиморфизма в Top. Является ли (Epi, Mono) факторизационной структурой в Top? (RegEpi, Mono)?
Сопряжённые функторы. Примеры.
Упражнение: доказать единственность сопряжённого функтора с точностью до изоморфизма.
13) 27.11.2023. Единица и коединица сопряжения. Треугольные тождества. Достаточные условия сопряжённости. У забывающего функтора Top → Sets разные левый и правый сопряжённые.
14) 29.11.2023. Критерий эквивалентности категорий. (Ко)рефлексивные подкатегории, (ко)рефлекторы. Скелет категории. Правые сопряжённые функторы сохраняют пределы и мономорфизмы.
15) 04.12.2023. Определение универсума. Критерий существования универсального отталкивающего объекта. Пределы в категории запятой. Теорема Фрейда о сопряжённом функторе. (Ко)порождающие множества объектов. Примеры в категории Sets. Специальная теорема об универсальном отталкивающем объекте.
16) 06.12.2023. Специальная теорема о сопряжённом функторе. Ab-категории. Нулевые морфизмы. Ядра, коядра.
17) 11.12.2023. Аддитивные категории. Операция на hom-множествах однозначно определяется (ко)произведениями и нулевым объектом. Аддитивные функторы. Абелевы категории. (Epi, Mono)-структурированность абелевых категорий. Точные последовательности. Короткая точная последовательность. Точные функторы. Теорема Фрейда-Митчелла (без доказательства; в формулировке забыли потребовать, чтобы абелева категория была малой).
18.12.2023. Экзамен по задачам осеннего семестра.
18) 12.02.2024. Коуниверсальный квадрат с участием эпиморфизма в абелевой категории. Функторы, точные слева и справа. Сопряжённые функторы между аддитивными категориями.
19) 19.02.2024. Техника доказательства лемм о диаграммах. Лемма о пяти морфизмах. Комплексы. Объекты гомологий. Длинная точная последовательность (без доказательства). Лемма о змее. Доказательство из фильма "It's my turn" (1980).
20) 26.02.2024. Лемма о змее (окончание доказательства). Естественные преобразования сопряжённых функторов. Альтернативный взгляд на бифункторы. Сопряжённые функторы, зависящие от параметра.
21) 04.03.2024. Диагональная естественность. Алгебраические структуры заданной сигнатуры (в терминологии А.И. Мальцева - алгебраические системы без отношений, в терминологии А.Г. Куроша - универсальные алгебры). Тождества, многообразия алгебраических структур. Абсолютно и относительно свободные алгебраические структуры.
22) 11.03.2024. Монады и алгебры над ними. Категория Эйленберга-Мура алгебр над монадой. Примеры: многообразия алгебраических структур и частично упорядоченные множества.
23) 18.03.2024. Универсальное свойство категории Эйленберга-Мура. Монадические функторы. Категория Клейсли. Упражнение. Проверить, что это действительно категория.
24) 25.03.2024. Универсальное свойство категории Клейсли. Полупрямые произведения и расщепляемые расширения групп. Вилки. Абсолютные и расщепляемые коуравнители.
25) 01.04.2024. Критерий Бека монадичности. Упражнение: доказать критерий того, что сравнивающий функтор будет эквивалентностью категорий.
26) 08.04.2024. Критерий Бека монадичности (окончание доказательства). Монадичность забывающего функтора из категории компактных хаусдорфовых топологических пространств в категорию множеств.
27) 15.04.2024. Монадичность забывающего функтора из категории компактных хаусдорфовых топологических пространств в категорию множеств (окончание доказательства). Моноидальные категории. Примеры: категории векторных пространств, множеств, эндофункторов. Строгие моноидальные категории. (Ко)декартовы категории. Моноиды.
28) 22.04.2024. Теорема Маклейна о когерентности. Строгие, сильные, слабые и op-слабые моноидальные функторы.
29) 25.04.2024. Новые примеры моноидальных категорий и функторов: категория линейных представлений группы, категория векторных пространств, градуированных группой; функтор (-)^*. Моноидальные естественные преобразования. Комоноиды. Замкнутые моноидальные категории. Внутренний Hom. Внутренний Hom в категории линейных представлений группы и категории векторных пространств, градуированных группой. Теорема Маклейна о строгости: моноидальная эквивалентность любой моноидальной категории строгой моноидальной категории.
30) 06.05.2024. Заплетённые и симметрические моноидальные категории. Квантовое уравнение Янга-Бакстера. Заплетённые функторы. Связь заплетания и естественных изоморфизмов l и r. Группы кос. Теоремы когерентности. Примеры заплетённых моноидальных категорий. Модули Йеттера-Дринфельда над групповой алгеброй.
31) 13.05.2024. Бимоноиды, моноиды Хопфа и группы в категориях. Обогащённые категории. 2-категории. 2-функторы, естественные 2-преобразования и модификации. Категория как одно множество. (Забыли потребовать s(f#g)=sg и t(f#g)=tf.) n-категории.
20.05.2024. Экзамен.
Видеозаписи лекций на YouTube-канале teach-in (осенний семестр)
Видеозаписи лекций на YouTube-канале teach-in (весенний семестр)
Видеозаписи лекций на сайте teach-in (осенний семестр)
Видеозаписи лекций на сайте teach-in (весенний семестр)
Свободные группы, порождающие и определяющие соотношения
Литература:
- Маклейн С. Категории для работающего математика.
- Borceux, F. Handbook of categorical algebra I,II.
- Popescu, N. Abelian categories with applications to rings and modules.
- Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов.