Кафедра высшей алгебры

Лектор Гордиенко Алексей Сергеевич

Годовой (но можно сдавать и полгода) спецкурс для студентов 2-6 курса, магистрантов и аспирантов.

понедельник, 18:30-20:05, ауд. 14-08 (главное здание МГУ), первая лекция осеннего семестра состоялась 18 сентября

среда, 16:45-18:20, ауд. 413 (2-й ГУМ), в следующие даты: 25 октября, 1, 8, 22, 29 ноября и 6 декабря.

6, 13 и 15 ноября лекций не будет.

Экзамен по задачам осеннего семестра состоится в понедельник 18 декабря вместо последней лекции, ауд. 14-08 (главное здание МГУ), начало в 18:30.

Задачи осеннего семестра

Решённые задачи нужно принести в отдельной тонкой тетради. На экзамене будут заданы задачи и вопросы на понимание по программе ниже. Число вопросов и задач будет зависеть от того, насколько много задач вам удастся сделать дома из списка выше, и того, насколько часто я вас видел на лекциях. На экзамене ничем нельзя будет пользоваться, кроме тетради с решёнными задачами.

Первая лекция весеннего семестра состоится 12 февраля 2024 года.

Говорят, что задана категория, если задан класс объектов, которые могут быть множествами (а могут и не быть), и для каждых двух объектов задано множество морфизмов (стрелок) между этими объектами, которые могут являться (а могут и не являться) отображениями, сохраняющими некоторые свойства. Подобная общность позволяет, например, направить стрелки в противоположную сторону и получить категорию, двойственную к исходной. Кроме того, такая общность позволяет изучать сразу несколько категорий одновременно.

Примерами категорий являются категория множеств, в которой морфизмы - это все отображения между множествами; категория групп, в которой морфизмы - это гомомоморфизмы групп; категория топологических пространств, в которой морфизмы - это непрерывные отображения. Частично упорядоченное множество - это тоже категория, объектами которой являются его элементы, а от элемента к элементу, большему или равному ему, существует стрелка.

Теорию категорию можно считать следующим уровнем абстракции по сравнению с традиционной абстрактной алгеброй. Эта теория находит применение в самых различных областях математики, информатики и теоретической физики.

В курсе будут рассматриваться следующие темы: категории, функторы, естественные преобразования, пределы и копределы, сопряжённые функторы, абелевы категории, моноидальные категории, заплетённые и симметрические моноидальные категории, монады и алгебры над ними, 2-категории и бикатегории.

Благодарности: чтение спецкурса в осеннем семестре поддержано фондом БАЗИС.

1) 18.09.2023. Большие и малые множества. Универсум. Категории: объекты и морфизмы. Категории множеств, групп, векторных пространств, топологических пространств, матриц. Группа и предпорядок как категории. Категория как алгебраическая структура. Двойственные категории. Функторы. Контравариантные функторы. Примеры: забывающие, вложения, степень множества, Hom-функторы, абелианизации, представления групп. Упражнение: показать, что взятие группы обратимых элементов является функтором из категории ассоциативных колец с 1 в категорию групп. Полные и унивалентные функторы. Подкатегории.

2) 25.09.2023. Упражнение. Пусть G - группа, рассматриваемая как категория с одним объектом. Что из себя представляет G^{op} ?

Изоморфизм в категориях. Естественные преобразования функторов. Примеры.

Упражнение: естественное преобразование функторов является их изоморфизмом, если и только если все его компоненты - изоморфизмы.

Эквивалентность категорий. Категория стрелок. Категории запятой. Вложение Йонеды. Лемма Йонеды.

3) 02.10.2023. (Ко)произведения. Примеры. Свободная группа. Задание группы при помощи порождающих и определяющих соотношений. Свободное произведение групп. Модули над ассоциативными кольцами. Универсальные притягивающие и отталкивающие объекты. Нулевые объекты. Упражнение: чему равно произведение произвольного объекта и универсального притягивающего объекта ?

4) 09.10.2023. Нулевой морфизм. Тензорное произведение алгебр над полем. Копроизведение в категории коммутативных алгебр. (Ко)уравнители. Примеры. Пределы. Коуниверсальные квадраты (=пулбэки). Ядерные пары. Целые p-адические числа.

5) 16.10.2023. Направленности. Ядра и коядра. Свойства пары коуниверсальных квадратов с общей стороной. Коуниверсальный квадрат вдоль морфизма как функтор между категориями запятой. Полные категории. Достаточное условие полноты.

Упражнение: категория полна в малом, если и только если в ней существуют коуниверсальные квадраты (=пулбэки) и малые произведения.

Функторы, сохраняющие пределы (=непрерывные), отражающие и создающие пределы. Пределы в категории Sets.

6) 23.10.2023. Пределы в категориях Top, R-Mod. Непрерывность функтора Hom. Пределы, зависящие от параметра. Покомпонентность вычисления пределов в категориях функторов. Повторный предел равен двойному.

7) 25.10.2023. Полнота категорий функторов в полную категорию. Перестановка пределов. Гомоморфизм графов. Свободные категории, построенные по графам. Сопряжённые функторы.

Упражнение: проверить естественность в свободно-забывающем сопряжении между графами и категориями.

Пределы диаграмм и их связь с пределами функторов. Копределы. Универсальные квадраты (=пушауты).

8) 30.10.2023. Копределы в категориях Sets, Top, R-Mod. Мономорфизмы и эпиморфизмы. Моно- и эпиморфизмы в категориях Sets, Top, Metr, R-Mod.

9) 01.11.2023. Моно- и эпиморфизмы в категории групп. Вложение целых чисел в рациональные как эпиморфизм. Подобъекты и факторобъекты. Предпорядок подобъектов. Пересечение подобъектов. Пересечение подобъектов как предел. Коуниверсальный квадрат с участием мономорфизма.

Упражнение. Доказать, что в коуниверсальном квадрате (пулбэке) в категории групп, в котором нижняя стрелка - эпиморфизм, верхняя стрелка также является эпиморфизмом.

Регулярные, сильные и экстремальные моно- и эпиморфизмы.

10) 08.11.2023. Связь между регулярными, сильными и экстремальными моно- и эпиморфизмами.

Упражнение: доказать теорему о гомоморфизме для моноидов.

Регулярные эпиморфизмы в категориях множеств, колец и моноидов. Факторизационные структуры (системы).

11) 20.11.2023. Композиция сильных мономорфизмов - сильный мономорфизм. Примеры факторизацоннных структур. Факторизационная лемма. Достаточные условия (ExtrEpi, Mono)-структурированности.

12) 22.11.2023. Достаточные условия (Epi, ExtrMono)-структурированности. Категории, малые в смысле подобъектов и факторобъектов.

Упражнение. Привести пример неэкстремального эпиморфизма в Top. Является ли (Epi, Mono) факторизационной структурой в Top? (RegEpi, Mono)?

Сопряжённые функторы. Примеры.

Упражнение: доказать единственность сопряжённого функтора с точностью до изоморфизма.

13) 27.11.2023. Единица и коединица сопряжения. Треугольные тождества. Достаточные условия сопряжённости. У забывающего функтора Top → Sets разные левый и правый сопряжённые.

14) 29.11.2023. Критерий эквивалентности категорий. (Ко)рефлексивные подкатегории, (ко)рефлекторы. Скелет категории. Правые сопряжённые функторы сохраняют пределы и мономорфизмы.

(продолжение следует)

Видеозаписи лекций на YouTube-канале teach-in

Видеозаписи лекций на сайте teach-in

Свободные группы, порождающие и определяющие соотношения

Литература:

1. Маклейн С. Категории для работающего математика.
2. Borceux, F. Handbook of categorical algebra I,II.
3. Adámek, J., Herrlich, H., Strecker, G.E. Abstract and concrete categories: the Joy of Cats.
4. Etingof, P., Gelaki, S., Nikshych, D., Ostrik, V. Tensor categories.
5. Popescu, N. Abelian categories with applications to rings and modules.
6. Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов.