Кафедра высшей алгебры

Весенний семестр 2024 года.

Спецкурс рассчитан на студентов 3, 4, 5, 6 курсов и аспирантов.

Лекции будут проходить по понедельникам в 18:30–20:05 в аудитории 14-02.

Программа курса

Ссылка на зум https://us05web.zoom.us/j/89506343820?pwd=6kBwDpH4E7QdI5ZduVLROzTTeXFXWs.1

Первая лекция пройдёт 19 февраля.

Курс посвящён основам теории колец Кокса алгебраических многообразий. Классический подход к алгебраическим многообразиям состоит в том, чтобы склеивать многообразие из аффинных карт. Однако, в некоторых задачах хочется иметь глобальные координаты на многообразии. Таковыми, например, являются однородные координаты на проективном пространстве. В 1995 году Дэвидом Коксом было введено канонически строящееся по многообразию (удовлетворяющему некоторым техническим условиям) кольцо (на самом деле алгебра над основным полем). Данное кольцо позволяет реализовать исходное многообразие как фактор открытого подмножества в спектре данного кольца по действию диагонализируемой группы. Так, например, для того, чтобы получить проективное пространство надо убрать из аффинного пространства начало координат и рассмотреть фактор по действию одномерного тора гомотетиями.

Оказывается, что рассматривать кольца Кокса полезно и в случае аффинных алгебраических многообразий, то есть когда на многообразии изначально есть глобальные координаты, заданные регулярными функциями. В этом случае кольцо Кокса зачастую выполняет роль факториального кольца, в которое вложена алгебра функций. Часто кольцо Кокса имеет более простой вид, чем кольцо регулярных функций, поэтому его применение приносит плоды для изучения аффинных алгебраических многообразий. В курсе будут рассказаны как основы теории Колец Кокса, так и примеры их вычислений. Также будут даны применения колец Кокса для изучения автоморфизмов многообразий.